Algunas investigaciones actuales en Cómputo Cuántico

16 de junio de 2017

Una característica principal de la Mecánica Cuántica es su enfoque probabilista. La célebre polémica de Einstein y Bohr de los años 30 casi se centró sobre la naturaleza determinista o probabilista de la Física.

En esa misma época Schrödinger, en un párrafo de su artículo de 1935 [ 5], introdujo de manera jocosa su famoso gato: En una jaula, de paredes opacas, donde se ha colocado un gato, éste podría liberar azarosamente una fuerza que lo aniquilaría, por lo que, en cualquier momento de su encierro, el gato podría estar o bien vivo o bien muerto. Sólo cuando la jaula se abre, es decir, “se toma una medición” del sistema, se determina si el gato está vivo o si está muerto. Una moneda, lanzada al aire, está en ambos estados “águila” o “sol” durante su vuelo, y sólo cuando cae al suelo, es decir cuando “se toma una medición”, la moneda queda en un solo estado determinado. En el aire, la moneda está en una superposición de águila y sol.

En el Cómputo Clásico, un bit¹ está en uno de dos estados deterministas posibles: cero o uno (falso o verdadero, prendido o apagado, ometecuhtli u omecíhuatl, ying o yang).

En el Cómputo Cuántico, un qubit² está en la superposición de los dos estados deterministas y sólo cuando se le toma una medición asume uno de esos dos estados. Así, si un sistema cuántico conformado por n qubits pudiera estar en E(n) posibles estados, al añadírsele un nuevo qubit, el nuevo sistema podría estar entonces en 2 E(n) posibles estados (resultantes de los E(n) que ya había por los 2 del nuevo qubit). O sea E(n + 1) = 2 E(n). Por tanto, un sistema cuántico conformado por n qubits podría asumir 2ⁿ estados deterministas, en otras palabras, ¡con un crecimiento lineal de qubits, se tiene uno exponencial de posibilidades deterministas!

Un estado cuántico es pues la superposición de un número exponencial de estados deterministas y cada uno de éstos podría ser asumido al realizar una medición del sistema, con una cierta probabilidad, que depende del estado cuántico original.

Desde un punto de vista abstracto, un problema se plantea como sigue: dado un conjunto D de instancias y un conjunto S de soluciones hipotéticas, se distingue un conjunto P en el producto cartesiano de D por S, o sea, P es un conjunto de parejas instancia–solución. Si acaso una pareja (i,s) está en P entonces se dice que s es una verdadera solución, según P, de la instancia i. En este contexto P plantea dos problemas:

Versión de decisión: Dada una pareja (i,s), se ha de decidir si acaso ella está en P.

Versión de búsqueda: Dada una instancia i en D se ha de buscar s en S tal que la pareja (i,s) esté en P, en otras palabras, tal que s sea una solución verdadera según P de la instancia i.

En un lenguaje más mundano, la versión de decisión consiste en comprobar si acaso s es una solución verdadera de la instancia i, en tanto que la versión de búsqueda consiste en resolver P para una instancia i dada.

En un algoritmo cuántico para tratar cualquiera de esas versiones, el producto cartesiano D × S se codifica como un subconjunto de los estados deterministas que puede asumir un sistema cuántico de manera que al hacer evolucionar al sistema de acuerdo con reglas fijas, las probabilidades, de ser asumidos tras una medición, de aquellos que correspondan a los elementos de P sean mucho mayores de los que estén fuera de P.

Así como muchos aspectos de la Mecánica Cuántica han sido formalizados en el campo de los números complejos, en el álgebra de matrices y en los espacios de Hilbert, es en estos últimos que la teoría de los algorimos cuánticos ha sido realizada.

Sea H el espacio de Hilbert complejo de dimensión 2, el llamado plano sobre los complejos. Una base de él la forman el vector horizontal e₀ = (1,0) y el vertical e₁ = (0,1), y esta base se dice ser la canónica (o, para dar una idea más física, es la base de polaridad horizontal-vertical). El círculo unitario consiste de los vectores de la forma q = q₀e₀ + q₁e₁, donde q ₀ y q₁ son números complejos tales que la suma los cuadrados de sus valores absolutos es 1, es decir {|q₀| ²,|q₁|²} es una distribución de probabilidad sobre la base. Los coeficientes q₀,q₁ se llaman amplitudes. Los vectores en la base corresponden a estados deterministas, q es un qubit y al tomar una medición sobre él se ha de asumir cada estado e_i con probabilidad |q_i| ². Al tomar potencias tensoriales del espacio de Hilbert se tiene que las dimensiones de ellas crecen de manera exponencial, por los que sus esferas unitarias realizan exactamento a los sistemas cuánticos.

Las reglas fijas con las que evolucionan los sistemas cuánticos son las transformaciones unitarias en esos espacios de Hilbert, las cuales son funciones lineales que dejan invariante a la esfera unitaria. De manera muy resumida, un algoritmo cuántico es la composición de operadores unitarios y de tomas de mediciones.

La transformación de Hadamard es un cambio de base de la canónica a la de polaridad noreste-sureste, también llamada de Bell, cuyos vectores tienen componentes en valor absoluto , o sea, al tomar una medición en ellos cualquiera de los estados deterministas es igualmente probable. Lo mismo sucede con potencias tensoriales de la transformación de Hadamard. Estas se usan para “poner a todos los vectores de una base canónica en una superposición donde todos ellos son igualmente probables”, es decir, están equilibrados. De manera general, al resolver un problema de búsqueda, se parte de uno de estos estados equilibrados y se va transitando por superposiciones de soluciones posibles, las cuales han de converger a las soluciones verdaderas, de forma tal que, al tomar una medición al cabo de un razonable número de pasos, se obtenga un estado determinista que codifique efectivamente a una solución verdadera del problema. En resumen, el algoritmo cuántico va haciendo una prospección simultánea de todas las soluciones hipotéticas dando prioridad a las que en verdad sean soluciones, las cuales serán determinadas por un proceso de toma de mediciones.

De manera informal pero ilustrativa supongamos que Teseo ha de rescatar a Ariadna del Laberinto de Creta, evitando un encuentro, que sería casi fatal, con el Minotauro. Teseo pues, ha de entrar al laberinto, encontrar a Ariadna, y junto con ella localizar la salida, siempre esquivando al Minotauro. Procediendo con un algoritmo cuántico, inicialmente Teseo “entra”, es decir se coloca en un estado en equilibrio mediante la transformación de Hadamard, posteriormente en cualquier cámara en que se encuentre en el laberinto toma una superposición de las alternativas que se le presentan, suprimiendo en ella los obstáculos que surjan (caminos cerrados, la presencia del Minotauro o arribos a cámaras ya visitadas) y al cabo de cierto tiempo (por lo general mucho menor que el número de cámaras en el laberinto) toma una medición y con una alta probabilidad estará fuera del laberinto con su misión cumplida.

Esta es la idea del Algoritmo de Grover [3]. En el hipercubo, que tiene 2ⁿ vértices, se tiene definida una función booleana, es decir, que sólo toma valores 0 o 1, la cual asume el valor 1 sólo en un vértice, desconocido, y toma el valor 0 en todos los demás. Se trata pues de localizar el punto donde la función vale 1. Una revisión vértice por vértice conllevaría una complejidad en tiempo exponencial, lo que no es viable. Utilizando n + 1 qubits, donde el último lleva un recuento del valor de la función en los primeros n, se construye un operador unitario que amplifica la dirección del punto buscado y disminuye la amplitud de todas las demás uniformemente. Al reiterarlo un número de veces proporcional a la raíz cuadrada de n se distinguirá con toda certeza cuál es el punto buscado. Este procedimiento es, en efecto, como localizar efectiva y rápidamente una aguja en un pajar. En la práctica, esto da un procedimiento para localizar un registro particular en una base de datos sin estructura alguna. El lector sin duda habrá apreciado la rapidez con la que ciertos buscadores de información en Internet localizan información en ella, lo cual da un indicio de que ésos cuentan con sistemas de “indexación” muy eficientes, mas sin embargo ya tales sistemas están aportando una estructura a la información. El Algoritmo de Grover no requiere ni siquiera de una tal “indexación”.

Las aplicaciones más llamativas del Cómputo Cuántico, a la fecha están en el área de Criptografía. Los esquemas de Clave Pública más utilizados en la actualidad, que de hecho forman parte de la capa de seguridad de Internet, basan su robustez en dos problemas matemáticos, tan difíciles que a la fecha no se conoce algoritmos eficientes para resolverlos en tiempo polinomial, a saber:

Factorización: Dado un entero n, de digamos k dígitos, localícese un entero m, que no sea ni 1 ni n, si lo hubiera, que divida a n.

Logaritmo discreto: Dado un grupo cíclico G, de orden n, de digamos k dígitos, un generador g de G y un elemento h de G, localícese un entero m tal que g^m = h. En tal caso, m es el logaritmo discreto de h en base g.

Para el problema de factorización, si se encontrara dos enteros x,y distintos tales que sus cuadrados coincidan módulo n, x² = y ² mod n entonces se tendría (x + y)(x-y) es un múltiplo de n, en consecuencia el máximo común divisor de x + y y n o bien el de x-y y n han de dar un divisor propio de n. Encontrar tales dos enteros x, y puede hacerse localizando dos enteros de orde par en ℤ_n. Esto es lo que hace el algoritmo cuántico de Shor, y su procedimiento tiene como un corolario otro algoritmo cuántico que resuelve el problema del logaritmo discreto. A la fecha, las comunicaciones “seguras” lo siguen siendo porque para implementar los algoritmos de Shor es necesario tener una cantidad cúbica, en términos de los tamaños k, de qubits y la tecnología actual aún no lo consigue.

Otra aplicación, que de hecho ya se ha implementado es el establecimiento de claves secretas para criptografía de clave privada. Dos partes, Alicia y Beto, quieren establecer una clave en común. Intercambian fotones, los cuales han de medir, ya sea respecto a la base canónica o bien a la de Bell. Cuando se ponen de acuerdo respecto a esas bases, intercambian los fotones, hacen las mediciones respectivas y las cadenas de bits resultantes formarán la clave en común establecida. Este protocolo tiene la particularidad de que cualquier discrepancia sólo puede ser debida a una interferencia en las comunicaciones, es decir, la sola presencia de intrusos puede ser detectada. Desde el primer lustro del siglo actual estos procedimientos ya han sido adoptados de manera convencional por varias agencias de telecomunicación.

Un fenómeno propio del Cómputo Cuántico es el entrelazamiento. El producto tensorial de dos espacios tiene como dimensión el producto de las dimensiones de los espacios factores, no la suma, como es el caso de productos cartesianos. Esto implica que hay estados en el producto tensorial que no están en el producto cartesiano, lo que significa que no se pueden escribir como productos de componentes más sencillas, por lo cual, al hecer una medición en un qubit, necesariamente los de algunos otros quedarán también determinados. El entrelazamiento fue previsto por Einstein [2] en 1935 y lo planteó como algo paradójico pues contradecía las nociones clásicas de “localidad” y “realismo” en Física. Desde la década de los 60 se demostró formalmente y se comprobó experimentalmente su consistencia y su existencia y a la fecha ya es una cuestión zanjada [1]. El entrelazamiento no es una forma de comunicación, es una relación entre varias partículas que las obliga a asumir ciertos estados deterministas cuando alguna de ellas queda determinada.

El entrelazamiento da origen a protocolos de establecimiento de claves seguras entre varios usuarios simultáneamente, a la codificación superdensa (mediante el envío de un qubit es posible enviar más de un bits clásicos) y a la teleportación la cual resumimos como sigue: Alicia quiere transmitir un qubit a Beto, los dos acuerdan un par entrelazado de partículas, digamos una con índice 1, en poder de Alicia, y la otra con índice 2, en poder de Beto; el qubit a transportarse está en una partícula con índice 0, en poder de Alicia. El sistema total 012 está parcialmente entrelazado. Alicia toma una medición de la pareja 01, por lo que la partícula 2 de Beto quedará determinada, Alicia obtiene dos bits clásicos ab y se los envía a Beto, quien al recibirlos aplica una transformación unitaria determinada por ab, en su partícula 2, y recupera el qubit que originalmente estaba en 0. Alicia pues pierde ese qubit, pero lo gana Beto, en otras palabras, el qubit se ha teleportado. ¿Se podrá en el futuro teleportar un objeto, mediante la teleportación de las partículas que lo componen? ¿Se podrá teleportar a las personas? (sería una manera de viajar utilizando la supercarretera de la información, algo así como meterse uno mismo en un anexo de un mensaje de correo-e (!)).

Recientemente, un grupo de investigación internacional [ 4] ha podido implementar protocolos basados en entrelazamiento, incluso el de teleportación, en las Islas Canarias, entre La Palma y Tenerife, a una distancia de 143 kms.

Otra forma en la que trabaja el Cómputo Cuántico son los procesos adiabáticos. El Teorema Adiabático estipula que, bajo ciertas condiciones, al parametrizar una serie de operadores unitarios, los correspondientes valores propios y sus respectivos vectores propios, llamados estados firmes, han de obedecer a la misma parametrización. Cuando se tiene un problema de optimización, digamos de una función sobre un hipercubo (con número de vértices que crece exponencialmente), entonces las condiciones para tener un valor extremo pueden plantearse en el lenguaje de operadores unitarios y estados cuánticos. De esta manera resolver el problema de optimización se restringe a definir una parametrización que transforme un operador unitario cuyos estados firmes sean fácilmente calculables, a las condiciones que codifican el problema a resolver, cuyos estados firmes son las soluciones buscadas. Un sistema cuántico que se coloque en la primera situación habrá de evolucionar a uno que resuelva el problema de optimización. ¡Es como si la Naturaleza supiera resolver problemas intrínsecamente muy complejos!

En el Departamento de Computación del Cinvestav realizamos investigaciones sobre aplicaciones del Cómputo Cuántico a la Criptografía y también, desde un punto de vista algebraico, sobre la manera de identificar elementos básicos de información cuántica (qubits y quregistros) como subconjuntos de grupos de simetría de las transformaciones lineales en espacios de Hilbert. En el Departamento de Física se realizan investigaciones diversas que involucran la realización del entrelazamiento y la implementación de qubits mediante puntos cuánticos (quantum dots).

En el Centro Nacional de Metrología, en su área de Metrología de Tiempo y Frecuencia, se han hecho implementaciones de diversos esquemas para establecimiento de claves criptográficas. En instituciones mexicanas como la UNAM, la Universidad de Guadalajara, la Universidad Autónoma del Estado de México, la Universidad Autónoma de San Luis Potosí, el Tecnológico de Monterrey, y seguramente algunas más, se hacen investigaciones en Computación e Información Cuánticos. La Sociedad Mexicana de Física cuenta con una propia División de Información Cuántica.

El prof. Alán Aspuru-Guzik, ciudadano mexicano graduado en la UNAM, es profesor desde 2006 en la Universidad de Harvard en los EUA y ahí dirige un grupo de investigación en Química Cuántica con el que ha obtenido resultados muy relevantes en la resolución de problemas combinatorios con algoritmos de tipo cuántico y en la implementación basada en técnicas de resonancia magnética nuclear.

Referencias

[1] Alain Aspect. Viewpoint: Closing the door on Einstein and Bohr’s quantum debate. Physics, 8, Dec 2015.

[2] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev., 47:777–780, May 1935.

[3] L K Grover. Quantum Mechanics helps in searching for a needle in a haystack. Phys. Rev. Lett., 79(quant-ph/9706033. 2):325–328, 1997.

[4] Xiao-Song Ma, Thomas Herbst, Thomas Scheidl, Daqing Wang, Sebastian Kropatschek, William Naylor, Bernhard Wittmann, Alexandra Mech, Johannes Kofler, Elena Anisimova, Vadim Makarov, Thomas Jennewein, Rupert Ursin, and Anton Zeilinger. Quantum teleportation over 143 kilometres using active feed-forward. Nature, 489(7415):269–273, 09 2012.

[5] Erwin Schrödinger. The present situation in quantum mechanics. Proceedings of the American Philosophical Society, 124:323–38, 1935. (Véase http://www.ingo-tessmann.de/QM/cat.html).