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Producto escalar canónico en ${{\mathbb{K}}}^n$

Para todo par de elementos: $\vec{x} = \colon (x^1,\ldots,x^n),\; \vec y =\colon (y^1,\ldots,y^n)$ de ${{\mathbb{K}}}^n$ definamos:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle (\vec x \vert \vec y)= \colon \sum_{i=1}^n x^i y^i }}$}$$

La aplicación $(\vec x , \vec y) \mapsto (\vec x \vert \vec y)$ de ${{\mathbb{K}}}^n \times {{\mathbb{K}}}^n$ en ${\mathbb{K}}$ así definida es un producto escalar sobre ${{\mathbb{K}}}^n$. Se llama el PRODUCTO ESCALAR CANÓNICO SOBRE #MATH3013#. Para dicho producto escalar la base canónica de ${{\mathbb{K}}}^n$ es una base O.N.

El producto escalar canónico se usa con más frecuencia en el caso real ${\mathbb{K}}= {\mathbb{R}}$. Define sobre ${{\mathbb{R}}}^n$ una estructura de espacio vectorial euclidiano llamada ESTRUCTURA CANÓNICA DE ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO sobre ${{\mathbb{R}}}^n$.

Teorema 1.16   Sea $E$ un espacio de producto escalar. Si $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es una base O.N. de $E$, la base dual es una base O.N. de $E^*$. Si $E$ es un espacio vectorial euclidiano, también lo es $E^*$.

Demostración
En virtud del teorema 3.1.13, basta demostrar la primera afirmación. Sea $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base O.N. de $E$. Por la condición 2, después de las definiciones 3.1.7, tenemos:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \vec{e}_i =\mathop{\vtop{\ialign{... ...quad \forall \,i \in \lbrack\!\lbrack 1,n\rbrack\!\rbrack }$}}$$ (44)

Puesto que $G$ es una isometría de $E$ sobre $E^*$, se sigue de (44):

$$(\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Así pues, es una base O.N. del dual $E^*$. $\quad\Box$

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