Valores Estacionarios de $\wp (z)$

Como $\wp (z)$ tiene polos dobles en la clase residuo 0, la suma de las dos clases residuo en la que toma algun valor es cero. Esto también es consecuencia de que es una función par, $\wp(-z)=\wp(z)$.

Si una clase residuo, en la cual $\wp(z) = e$, es $2\Omega+\omega$ donde $\omega\in\Omega$ y $\omega\not\in2\Omega$, es decir es un medio-periodo de $\wp (z)$, la otra clase residuo para el mismo valor coincide con éste, es decir, cualquier punto de esta clase residuo es un doble cero de $\wp(z)-e$, y un punto estacionario de $\wp (z)$, luego también es un cero de $\wp '(z)$.

Hay tres clases residuo de medios-periodos, llamados $2\Omega+\omega_i \; (i=1,2,3)$, donde $\omega _1,\omega _2$ son cualquier par de generadores de $\Omega$, y $\omega_3 = -(\omega_1+\omega_2)$; la unión de estas tres clases residuo con la clase residuo cero es la red $\Omega$. Estas son las tres clases residuo de ceros de $\wp '(z)$, que como hemos visto es de orden 3, sus únicos polos son triples, en la clase residuo cero.

Los valores estacionarios $e_i = \wp(\omega_i) \;(i=1,2,3)$ de $\wp (z)$ son todos distintos. Los valores estacionarios e₁,e₂,e₃, son las raíces de la ecuación cúbica 4x³ - g₂x-g₃ = 0, ya que de (2.1), $\wp'(z)=0$ si y solo si $\wp (z)$ es una raíz de esta ecuación. Luego

$$\begin{eqnarray*}e_1+e_2+e_3 &= & 0 \\ e_2e_3+e_3e_1+e_1e_2 & =& -\frac{1}{4}g_2 \\ e_1e_2e_3 & = & \frac{1}{4}g_3. \end{eqnarray*}$$