Una función compleja es una transformación

La definición formal de función compleja no difiere de la definición de función compleja, es decir, sigue siendo una regla de correspondencia uno a uno ( $f:f\rightarrow f(z)$).

Una función compleja representará una tranformación de un espacio a otro, por lo cual podremos observar comportamientos de $z$ a $f(z)$. La funciones complejas se compondrán de dos funciones reales (como es de esperarse) una real y una imaginaria. Por ejemplo la función $w= z^2$ si $z = x+iy$ y $w =u+iv$, podremos sustituir valores

$$w = u+iv = z^2 = (x+iy)^2 = x^2+y^2+2xyi$$

por lo que $u = x^2+y^2$ y $v = 2xy$, así que $u$ y $v$ serán dos funciones reales que dependerán de las partes reales e imaginarias de $z$.