Ejemplo 1

Encontrar la forma general de un círculo que pasa por 3 puntos dados $z_1, z_2, z_3 \in$ C

Solución.- La definición de círculo esta definida como el lugar geométrico en el cual la distancia de todos sus puntos es igual a otro punto llamado centro. Entonces la ecuación de un círculo será

$$\vert z-c\vert = r$$

siendo $c$ el número complejo que corresponde al centro. Si elevamos todo al cuadrado

$$\vert z-c\vert^2 = (z-c)\overline{(z-c)} = r^2$$

Resolviendo la multiplicación tendremos

$$z\overline z -z\overline c-\overline zc-c\overline c=r^2$$

esta será la ecuación general de un círculo con centro $c$ y radio $r$. Sustituyendo los anteriores puntos tendremos 3 ecuaciones

$$z_1\overline z_1 -z_1\overline c-\overline z_1c-c\overline c = r^2$$

$$z_2\overline z_2 -z_2\overline c-\overline z_2c-c\overline c = r^2$$

$$z_3\overline z_3 -z_3\overline c-\overline z_3c-c\overline c = r^2$$

si restamos la primera ecuación a la segunda y luego a la tercera nos quedará

$$z_2\overline z_2-z_1\overline z_1 -z_2\overline c-\overline z_3c+\overline z_1c+z_1\overline c = 0$$

$$z_3 \overline z_3-z_1\overline z_1 -z_3\overline c-\overline z_3c+\overline z_1c+z_1\overline c = 0$$

$$z_2\overline z_2-z_1\overline z_1= z_2\overline c+\overline z_2c-\overline z_1c-z_1\overline c$$

$$z_3\overline z_3-z_1\overline z_1= z_3\overline c+\overline z_3c-\overline z_1c-z_1\overline c$$

$$z_2\overline z_2-z_1\overline z_1= c(\overline z_2 - \overline z_1) + \overline c(z_2-z_1)$$ (5)

$$z_3\overline z_3-z_1\overline z_1= c(\overline z_3 - \overline z_1) + \overline c(z_3-z_1)$$ (6)

Podemos acomodar estas dos ecuaciones de forma matrícial usando las relaciones de la ecuación en el primer renglón y la ecuación en el segundo renglón.

$$\left[ \begin{array}{rl} z_2\overline z_2-z_1\overline z_1 \\ z_... ...{array} \right] \left[ \begin{array}{rl} c \\ \overline c \end{array} \right]$$

Si el determinante de la matriz 2x2 es igual a cero cumple que

$$\frac{\overline z_3 - \overline z_1}{ z_3-z_1} = \frac{\overline z_2 - \overline z_1}{ z_2-z_1}$$

lo cual es la condición necesaria para que los 3 puntos no sean colineales. Si obtenemos la matriz inversa de la matriz de dos por dos y la multiplicamos por la matriz del lado izquierdo podremos tener el valor de $c$ el cual estará dado por

$$c = \frac {\vert z_1\vert^2(z_2-z_3)+\vert z_2\vert^2(z_3-z_1)+\v... ...\vert^2(z_1-z_3)}{(z_3-z_1)\overline{(z_2-z_1)}-(z_2-z_1)\overline{(z_3-z_1)}}$$

el radio lo podemos obtener con $r = \vert z_1-c\vert$.

{(JS1pJS2pJS3p;)i
(R1Pj*R2R3-*  R2Pj*R3R1-* R3Pj*R1R2-* ++ ;)a
( R1 j R2 R3 - *  R2 j R3 R1 - *  R3 j R1 R2 - * ++ ;)b
(@a@b/;)c
(R1 @c-Pj*r;)R
(
(@i @c @R k;)
(R1zpR2zpR3zp;)
;)}

Figura: Resultado del programa que genera un círculo que pasa por puntos dados