Ley de Hartley-Shannon

En un canal de transmisión, un parámetro importante es la razón señal-entre-ruido (signal-to-noise ratio) $\frac{S}{N}$, la cual es una cantidad adimensional. Cuando es pequeña, el ruido es mucho mayor que la señal, y cuando es muy grande, el ruido es despreciable. Sea $B$ el ancho de banda de señal, medido en hercios. Sea $C$ la capacidad del canal, medido en bits/segundo. La Ley de Hartley-Shannon estipula:

$$C = B\ \log_2\left(1+ \frac{S}{N}\right)$$

$$= \frac{B}{\ln 2}\ \ln\left(1+ \frac{S}{N}\right) ,$$ (1)

que se parafrasea como que la capacidad del canal es proporcional a su ancho de banda de señal, y la constante de proporcionalidad es logarítmica respecto a la razón señal-entre-ruido. Es usual llamar también ancho de banda computacional a la capacidad $C$.

En la Figura 1 mostramos la gráfica de la ec. (1) para $0\leq b\leq 1000$ y $0\leq \frac{S}{N} \leq 100$. En (a) aparece en tres dimensiones, en tanto que en (b) aparece por contornos. Se aprecia que para mantener una capacidad constante, al aumentar el ruido, la razón señal-entre-ruido ha de disminuir, por lo que el ancho de banda de señal habrá de aumentar lo cual se logra mediante un efecto SS.

Figure 1: Gráfica de la capacidad respecto al ancho de banda de señal y la razón señal-entre-ruido.

(a)	(b)

Del desarrollo en serie de potencias de (1), se tiene

$$\frac{C}{B} = \frac{1}{\ln 2}\ \sum_{n\geq 1} (-1)^{n-1}\frac{1}{n}\left(\frac{S}{N}\right)^n$$ (2)

Si acaso $\frac{S}{N}<<1$ entonces

$$\frac{C}{B} \approx \frac{1}{\ln 2}\frac{S}{N}\hspace{1cm} \m... ...tambi\'en }\hspace{1cm} \frac{B}{C} \approx (\ln 2)\frac{N}{S}.$$

Esto último ha de dar la tasa en la que ha de aumentarse $B$ al aumentar $N$. El aumento de $B$ es precisamente el propósito de la técnica SS.

Espectro disperso (SS): Un sistema de comunicación por frecuencias de radio (RF) en el que el ancho de banda de señal se ensancha a un ancho de banda mayor en varios órdenes de magnitud inyectando una señal de mayor frecuencia. Se define:

$$\mbox{\em Ganancia de Procesamiento} = \frac{\mbox{ancho de b... ...hado}}{\mbox{ancho de banda original}} \ \mbox{(medido en dB)}.$$

Usualmente la ganancia queda en el intervalo entre 10bB y 60dB.

Un sistema SS es uno de comunicaciones tal que

• la información es modulada por un portador,
• el ancho de banda es ensanchado deliberadamente mediante un procedimiento bien determinado que involucra una señal de código SS,
• la cual incluso puede estar contenida en el procedimiento de ensanchamiento.

Los sistemas de frecuencia modulada a pulsos son una forma de SS.