Resumen
Ilustramos diversas formas de las desigualdades de Bell.
En su célebre artículo de 1935, Einstein, Podolsky y Rosen (EPR) presentaron un resultado que contradecía la naturaleza realista y local de la física clásica. Los fenómenos físicos son reales en tanto que ellos quedan caracterizados por las mediciones que se tengan de todas sus propiedades. Puesto de manera burda en seudotérminos computacionales, los fenómenos son registros cuyas entradas son los valores medidos de sus propiedades. Los fenómenos son locales en cuanto a que dos de ellos estando suficientemente separados son independeintes entre sí. Las mediciones que se hagan de las propiedades de uno no han de influir en las del otro. Estas supuestas paradojas originaron la controversia entre Bohr y Einstein acerca del carácter determinista de la Física. La paradoja EPR consistía en que la Mecánica Cuántica perdía características de realidad y de localidad. Podría haber un par de partículas que o bien tendrían propiedades sin valores determinados o bien los valores que asumiría una partícula determinarían unívocamente los correspondientes de la otra, independientemente de cuán alejadas estén una de la otra. Tales sistemas estarían entrelazados. En 1964 John Bell publicó un artículo donde mostraba que el análisis matemático de la Mecánica Cuántica era consistente con el entrelazamiento y posteriormente diversos experimentos mostraron que en realidad el análisis de Bell era compatible con la realidad física.
Presentamos aquí varias versiones de las desigualdades de Bell y las contrastamos con sus similares de tipo “clásico”.
Sea U un conjunto no-vacío, universo, finito. Sean A,B,C ⊂ U tres conjuntos en el universo. Entonces se cumple la, digamos, desigualdad conjuntista de Bell:
|
|
(1) |
En efecto:
Supongamos, por otro lado, que se tiene tres
preguntas pi,
i ∈ [[0,2]] y cada una con una posible respuesta
ri
∈ Q =
{0,1} = {No,Sí}. Cada ri
puede verse como una variable aleatoria Ω →
Q, donde Ω es un espacio de
probabilidad conformado por las posibles configuraciones
de respuestas y respondentes a las preguntas. Así, se
tiene
una variable aleatoria vectorial r =
(r0,r1,r2)
: Ω → Q3. Evidentemente, card
= 23 = 8. Consideremos los
eventos siguientes:
= 
para cada
i ∈ [[0,2]], ε ∈ Q, e
independiente de las demás. Entonces, ya que los eventos A, B y C han de ocurrir, cada uno, en exactamente
4
posibles configuraciones de respuestas, se tiene:
 |
(2) |
Pero también, ya que en cualquier configuración de respuestas al menos dos han de coincidir, los tres eventos A,B,C forman un recubrimiento del espacio de probabilidad, por lo tanto:
 |
(3) |
De hecho, se ha de tener A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = A ∩ B ∩ C, por lo cual se ve también que
 |
(4) |
pues el análogo a (3)
daría 1 ≤
lo cual es absurdo.
Hay materiales radiactivos tales que cuando uno de sus átomos decae, éste emite una pareja de electrones, en direcciones opuestas. Una característica de un electrón es su espín. La pareja de electrones emitidas por el decaimiento de un átomo está entrelazada es decir, el espín de cada electrón es opuesto al del otro, de manera que el espín global de la pareja es nulo.
Supongamos elegidas tres direcciones para tomar mediciones de espines, digamos di, i ∈{0,1,2}. En cada dirección, un espín puede apuntar hacia arriba k = 1, o hacia abajo k = 0. Cada pareja de electrones consta, obviamente, de dos electrones ej, con j ∈{0,1}. Así pues, para cada electrón ej se tiene un correspondiente espacio de Hilbert ℍj complejo de dimensión 2. Consideremos en cada uno de esos dos espacios bases ortogonales correspondientes a cada dirección di, digamos {eij0,eij1} es la base de ℍi correspondiente a la dirección di. La pareja de electrones emitidos queda en el estado cuántico x ∈ ℍ0 ⊗ ℍ1 que, expresado en cada base, es
(los primeros índices en los vectores básicos señalan direcciones, los segundos electrones y los terceros espínes).En cada una de las expresiones en (5) al tomar una medición en la primera partícula (j = 0), la segunda (j = 1) asumirá el estado complementario, y viceversa. Es en este sentido que el par de partículas está entrelazado.
Por hacer una analogía con el caso discutido al final de la sección 2.2, las direcciones vienen a ser las preguntas y los estados medidos en cada partícula son las respuestas {No,Sí} que da cada partícula a ellas. Aunque, debido a la complementariedad de los espines de los electrones en cada pareja emitida, las respuestas (No,Sí) las consideraremos como (0,1) en un electrón pero en el otro los invertiremos, es decir, como (1,0).
Consideremos tres bases ortonormales del espacio de Hilbert ℍ complejo de dimensión 2:
Ahora, supóngase por un momento que uno de los electrones se mide respecto a la base E y su complementario respecto a la base F, es decir {e000,e001} = E y {e110,e111} = F. Entonces, el estado cuántico del par es, de acuerdo con las relaciones (5)
2 + 
2 = 
= 
.
Similarmente, para las otras dos coincidencias. Tenemos pues la
situación contradictoria dada por (4).
Esto marca una diferencia esencial entre la Mecánica Cuántica y la concepción clásica, digamos determinista, de la realidad física. Se tiene, en última instancia, que se viola alguno de los siguientes dos principios:
Codifiquemos ahora los valores booleanos como Q = {-1,1}, con el fin de que representen aplicaciones unitarias en ℝ, y definamos la forma, llamada CHSH [Clauser, Horne, Shimony, Holt], f : Q2 × Q2 → ℤ,
![[ ] [ ]
[(a0,a1),(b0,b1)] → f(a0,a1,b0,b1) = a0b0 + a1b0 + a1b1
- a0b1 = [a0 a1] 1 - 1 b0 , 1 1 b1](18bell21x.png) |
(6) |
cada pareja (x0,x1) ∈ Q2 puede verse como la de posibles valores de espín de una pareja de electrones.
Un cálculo directo muestra que en Q2 ×Q2, |f| = 2. De hecho, para la mitad de valores se asume el valor -2 y para la otra mitad 2. Específicamente:
, lo
que nos lleva también a una situación contradictoria dada por (4).
Ahora bien, al considerar a0,a1,b0,b1 como variables aleatorias, dado que |f(a0,a1,b0,b1)| = 2 necesariamente se ha de tener
 |
(7) |
por tanto, bajo la condición de que a1 y b1 han de coincidir, E(a1b1) = 1, (7) dará
 |
(8) |
y ésta es una expresión que parece contradecir la desigualdad conjuntista (1).
Un operador observable es uno ℍ1 → ℍ1 que es autoadjunto. Recordamos las transformaciones de Pauli:
![[ ] [ ] [ ]
σx = 0 1 , σy = 0 i , σz = 1 0 1 0 - i 0 0 - 1](18bell27x.png) |
(9) |
Supongamos que, en función de sendos bits clásicos, Alicia puede aplicar a un fotón los operadores observables siguientes:
![[ ] [ ]
α0 = σz = 1 0 , α1 = σx = 0 1 0 - 1 1 0](18bell28x.png)
![[ ] [ ]
β = √1-(σ + σ ) = 1√-- 1 1 , β = √1-(σ - σ ) = 1√-- - 1 1 . 0 2
x z 2 1 - 1 1 2 x z 2 1 1](18bell29x.png)
Considérese la base del espacio ℍ2 = ℍ1 ⊗ ℍ1 dada por los vectores de Bell:
Recordamos también, que dado un operador observable, digamos γ, la esperanza de su medición respecto a una dirección b es
Consideremos el juego siguiente. Alicia y Beto conforman un equipo de dos personas, es decir, conforman un sistema de dos partículas. En cada tirada:
Por supuesto que si hubiera un medio de comunicación entre Alicia y Beto la estrategia trivial simple:
haría ganar siempre al equipo Alicia–Beto, sin
falla alguna, es decir Pr
= 1.
Supongamos pues que no haya comunicación entre Alicia y Beto.
Una primera estrategia “Alicia y Beto tiran a la buena de dios”: Independientemente de los bits recibidos, x,y, Alicia selecciona aleatoriamente a ∈{0,1} y Beto igualmente selecciona aleatoriamente b ∈{0,1}.
En este caso, descompongamos los casos posibles según se hayan elegido los bits x,y,a. Se tiene:
Una segunda estrategia “Alicia complementa y Beto repite”: Los jugadores acuerdan de antemano que Alicia emite el complemento del bit que reciba, a = (1 + x) mod 2 y Beto repite el que reciba b = y ∈{0,1}.
En este caso, descompongamos los casos posibles según los bits recibidos x,y. Se tiene:
Se tiene:
El lector podría reflexionar acerca de si existe
alguna otra estrategia, ya sea determinista o probabilista, que
mejore esa probabilidad de gane. Sin embargo, 
es una cota superior a la
probabilidad de gane con cualquier
enfoque “clásico”.
Ahora consideremos:
Una estrategia cuántica “Alicia y Beto explotan entrelazamiento”: Los jugadores preparan un par de partículas entrelazadas. El estado cuántico del par es
![[ ] [ ]
U = cos(θ) sen(θ) , I = 1 0 . θ - sen (θ) cos(θ) 0 1](18bell44x.png)
Se tiene entonces que al final de la estrategia, se ha aplicado el operador
. El estado cuántico al
final del proceso será entonces
, se ha
de tener c = 
y s = 
. En consecuencia, el estado final ha de
ser
, se tiene 
<
. La relación dada por (12) fija una
cota propia de una desigualdad de
Bell.
Supongamos un fenómeno parametrizado por
vectores en ℝn, que al ser medido respecto a
una dirección, o
“detector”, en ℝn produce un valor: υ1
: ℝn
→{-1,+1}, p
υ1(p) y que para un par de instancias
(p0,p1)
∈ ℝn × ℝn
el valor medido conjuntamente del sistema formado por esa pareja
posee una esperanza, digamos
estadística:
 |
(13) |
Así por ejemplo, si se tratase de un par de fotones emitido en el experimento de Stern-Gerlach (el espín de un fotón ha de ser opuesto al del otro), y p0 = p1 = p es un vector unitario, entonces Ee(p,p) = -1.
Supongamos, por otro lado, que Λ ⊂ ℝ es un
conjunto parametrizando evoluciones, para entrar en ideas
primarias de la Mecánica Cuántica, se le puede ver como uno
correspondiente a una variable oculta, con una propia
función de densidad probabilista ρ :
Λ → [0,1].
Supongamos también que el valor que asume una
instancia del fenómeno depende de un parámetro en el conjunto Λ.
Se tiene pues una propia función
α : ℝn × Λ
→{-1,+1}, (p,λ)
α(p,λ). Dada
una pareja de dichos fenómenos, se tiene correspondientes
funciones α0,α1
: ℝn
× Λ →{-1,+1}. La
esperanza de correlación de ambas partículas ha de ser
entonces
 |
(14) |
Se tiene:
Supongamos, finalmente, que α0 = -α1 (como se da en el caso de Stern-Gerlach). Entonces (14) queda
 |
(15) |
Para p0,p1,p2 ∈ ℝn se ha de tener:
![∫
E(p0,p1)- E(p0,p2) = [α0(p0,λ)α0(p2,λ)- α0(p0,λ)α0(p1,λ)] ρ(λ
)dλ ∫Λ[ ] = α0(p0,λ)α0(p2,λ-)- 1 α0(p0,λ)α0(p1,λ)ρ(λ)dλ ∫Λ[
α0(p0,λ)α0(p]1,λ ) α0(p2,λ)- = Λ α0(p1,λ) - 1
α0(p0,λ)α0(p1,λ)ρ(λ )dλ ∫ = [α0(p1,λ)α0(p2,λ)-
1]α0(p0,λ)α0(p1,λ )ρ(λ) dλ Λ](18bell64x.png)
![∫ ∫ |α (p,λ)α (p ,λ)- 1| ρ(λ)dλ =
2ρ(Λ - Λ ) = [1- α (p ,λ)α (p ,λ)] ρ(λ)dλ. Λ 0 1 0 2 = Λ 0 1 0 2](18bell68x.png)
 |
(17) |
se tendría también
 |
(18) |
De manera similar a (16) se prueba que, para un tercer p2 ∈ ℝn, se tendrá:
 |
(19) |
Naturalmente,
 |
(20) |
En particular, si se toma p0 y p2 perpendiculares y p1
a “45∘ = 
radianes” de ambos p0
y p2,
se ha de tener
⟨p0|p2⟩ = 0 y ⟨p0|p1⟩ =
= ⟨p1|p2⟩, luego (20)
dará 
- 1 ≤ 4(ε + δ), lo
cual marca un impedimento a que ε y
δ
sean arbitrariamente pequeñas simultáneamente.
En resumen, bajo las condiciones (13)–(15), que implican (16), no se podría tener simultáneamente las relaciones en (17) para ε y δ arbitrariamente pequeñas.
Sin embargo, si experimentalmente se comprobase que pueden lograrse simultáneamente las relaciones (17), para ε y δ arbitrariamente pequeñas, entonces el “principio de localidad” (14) ha de ser excluido.
Vale mencionar que esta situación excluyente está apareciendo bajo la suposición de que en la expresión (15) las funciones de densidad α0 y ρ son las mismas para las tres caracterizaciones involucradas. En diversos análisis se busca suprimir esa suposición con el propósito de hacer compatibles la localidad y el fenómeno de entrelazamiento.
Por otro lado, sobresimplifiquemos todo lo anterior, con las suposiciones siguientes:
Sea θij el ángulo tendido por los vectores pi y pj. Entonces θ12 = θ02 - θ01. Entonces la desigualdad (16) asume la forma
 |
(21) |
Consideremos pues la función
![[ π-π-]2
T : - 2, 2 → ℝ , (θ01,(θ02) ↦→ T (θ01,(θ02) = 1 +
cos(θ02 - θ01)- |cos(θ02)- cos(θ01)|.](18bell79x.png) |
(22) |
Ya que la función coseno es par, T es una función conmutativa: T(θ01,(θ02) = T(θ02,(θ01).
En la Figura 1 presentamos la gáfica de T. En (a) aparece en una imagen tridimensional y en (b) aparece por contornos. Se aprecia que en los cuadrantes Primero y Tercero, la función T es negativa, por lo que la desigualdad (21) sólo es válida en los cuadrantes Segundo y Cuarto, es decir, sólo vale cuando Sgn(θ02) ⁄= Sgn(θ01).
En la Figura 2
presentamos las gráficas de las funciones seccionales θ01
T
, en (a), y
θ01
T
, en (b). Debido a la
conmutatividad de T, las seccionales
cuando θ01
= -
y θ01 = +
son
iguales.
Tenemos pues una incompatibilidad elemental entre las relaciones (13)–(15) con (16).
![( ∘ -------)2 ( ∘ ------)2 1 1
√1- 1 1 1√-- 1 1 1
Pr(gana) = 1⋅ 4 + 2 2 1 + 2 ⋅4 + 2 2 1+ 2 ⋅4 + 2 ⋅4 ⌊ (
∘-------)2 ⌋ 1 ⌈ 1 -1- 1⌉ = 4 1+ 4 2 1 + √2- + 2 [ ( ) ] = 1 3
+ 1+ √1- 4 2 2 1 [3 √2 + 1] = - - + --√--- 4 [2 2 ] 1 3 2+ √2-
= 4 2 + --2--- ( ) = 1 5+ √2- (12) 8](18bell54x.png)
![∫
|E (p0,p1)- E(p0,p2)| ≤ Λ |α0 (p1,λ)α0(p2,λ) - 1|
|α0(p0,λ)α0(p1,λ)|ρ(λ)dλ ∫ ≤ |α0 (p1,λ)α0(p2,λ) - 1| ρ(λ)dλ ∫Λ
= [1 - α0(p1,λ)α0(p2,λ)] ρ(λ)dλ ∫Λ ∫ = ρ(λ)dλ -
α0(p1,λ)α0(p2,λ)ρ(λ)dλ Λ Λ = 1+ E (p1,p2) (16)](18bell65x.png)
![[ ] - π2 , π2](18bell80x.png)
