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Características criptográficas

Un buen sistema criptográfico ha de tener varias características:

• pequeñas variaciones de textos llanos: grandes variaciones de textos cifrados,
• los tamaños de los textos planos deben ser comparables con los cifrados,
• los textos cifrados deben calcularse eficientemente a partir de los planos, y
• la relación entre textos planos y cifrados debe ser impredecible.

Un mal sistema criptográfico se caracteriza porque:

• aparenta una relación aleatoria entre planos y cifrados, pero en realidad no lo es,
• es susceptible a criptoanálisis elementales,
• el cálculo de cifrados es ineficiente en tiempo y en espacio, y
• es vulnerable a sus propios fabricantes.

Un sistema criptográfico típico de llave secreta consta de los objetos siguientes

• ${\cal M}$: un espacio de mensajes,
• ${\cal L}$: un espacio de llaves,
• ${\cal C}$: un espacio de cifrados de textos,
• $E:{\cal L}\times {\cal M} \rightarrow {\cal C}$: función de encriptamiento,
• $D:{\cal L}\times {\cal C} \rightarrow {\cal M}$: función de desencriptamiento, tales que
  • $\forall k\in{\cal L}, m\in{\cal M}:\ D(k,E(k,m))=m$ &
  • $\forall k\in{\cal L}, c\in{\cal C}:\ E(k,D(k,c))=c$.

El sistema es seguro si a pesar de conocer E(k,m), desconociendo k no se puede calcular m.

 

Ejemplo. Rellenado de una sola vez (one-time pad) En $Z\!\!\!Z_2$ la operación suma $\oplus$, u ``O''-excluyente, es de orden 2: $x\oplus x=0$, y $\forall n\in I\!\!N$, la misma operación componente a componente cumple lo mismo: $\forall \mbox{\bf x}\in Z\!\!\!Z_2^n:\ \mbox{\bf x}\oplus \mbox{\bf x}=\mbox{\bf0}$. Así pues, se puede tomar ${\cal M}={\cal L}={\cal C}=Z\!\!\!Z_2^n$ y

$$\begin{array}{c@{\ \ \ \ \ }c} \begin{array}{rcl} E:{\cal L... ...bf m}=\mbox{\bf k}\oplus \mbox{\bf c} \end{array} \end{array}$$

el sistema es seguro pues conocido $\mbox{\bf c}$ si no se conoce $\mbox{\bf k}$ no es recuperable $\mbox{\bf m}$ (de hecho, es posible generar cualquier $\mbox{\bf m}$ pues siempre existe $\mbox{\bf k}=\mbox{\bf m}\oplus \mbox{\bf c}$ tal que $\mbox{\bf m}=D(\mbox{\bf k}, \mbox{\bf c})$.


Ejemplo. Transformaciones lineales no-singulares Sea $\mbox{\bf A}\in\left(Z\!\!\!Z_2\right)^{n\times n}$ una matriz tal que $\mbox{\rm Det }\mbox{\bf A}\not= 0$ y sea $\mbox{\bf b}\in Z\!\!\!Z_2^n$. Entonces la pareja $(\mbox{\bf A},\mbox{\bf b})$, que contiene n²+n ``entradas'' en $Z\!\!\!Z_2$, determina una transformación afín

$$T_{(\mbox{\scriptsize\bf A},\mbox{\scriptsize\bf b})}:\mbox{\bf m}\mapsto \mbox{\bf A}\mbox{\bf m}+\mbox{\bf b}$$

con inversa $T_{(\mbox{\scriptsize\bf A},\mbox{\scriptsize\bf b})}^{-1}=T_{(\mbox{\scriptsize\bf A}^{-1},\mbox{\scriptsize\bf0})}\circ t_{-\mbox{\scriptsize\bf b}}$, donde $t_{-\mbox{\scriptsize\bf b}}$ es la translación $\mbox{\bf x}\mapsto \mbox{\bf x}-\mbox{\bf b}$.


Ejemplo. Permutaciones-sustituciones de Shannon

Sustituciones. Para $n\in I\!\!N$, sea $Z\!\!\!Z_2^n$ el espacio de cadenas binarias de longitud n. Sea $\mbox{\bf k}:Z\!\!\!Z_2^n \rightarrow Z\!\!\!Z_2^n$ una permutación. A cada mensaje $\mbox{\bf m}=\left[m_i\right]_{i\leq l}\in\left(Z\!\!\!Z_2^n\right)^*$ se le asocia el código $\mbox{\bf c}=\left[\mbox{\bf k}(m_i)\right]_{i\leq l}\in\left(Z\!\!\!Z_2^n\right)^*$. En este caso se tiene un espacio de llaves de tamaño $\left(2^n\right)!$.

Permutaciones. Sea $\mbox{\bf k}:[\![1,n]\!] \rightarrow [\![1,n]\!]$ una permutación. A cada mensaje, dividido en bloques, $\mbox{\bf m}=\left[m_i=\left[a_{ij}\right]_{j\leq n}\right]_{i\leq l}\in\left(Z\!\!\!Z_2^n\right)^*$ se le asocia el código $\mbox{\bf c}=\left[\left[a_{i\mbox{\scriptsize\bf k}(j)}\right]_{j\leq n}\right]_{i\leq l}\in\left(Z\!\!\!Z_2^n\right)^*$. En este caso se tiene un espacio de llaves de tamaño n!.

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