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Cláusulas y frases signadas

Para $\mbox{\boldmath$\delta$}\in\mbox{\rm Dos}^n$ diremos que para todo $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\in\mbox{\rm Tres}^n$ tal que $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\preceq\mbox{\boldmath$\delta$}$,

• $\mbox{\rm Frase}(\mbox{\boldmath$\epsilon$})$ es una #MATH746#-FRASE,
• $\mbox{\rm Claus}(\mbox{\boldmath$\epsilon$})$ es una #MATH749#-CLÁUSULA,
• si $\mbox{\boldmath$\delta$}=(1,1,\ldots,1)$ entonces toda $\mbox{\boldmath$\delta$}$-frase y toda $\mbox{\boldmath$\delta$}$-cláusula se dice ser POSITIVA,
• si $\mbox{\boldmath$\delta$}=(0,0,\ldots,0)$ entonces toda $\mbox{\boldmath$\delta$}$-frase y toda $\mbox{\boldmath$\delta$}$-cláusula se dice ser NEGATIVA.

Observación 1.10   Se siguen inmediatamente las relaciones siguientes:

1. Si $\mbox{\rm Frase}(\mbox{\boldmath$\epsilon$})$ es una $\mbox{\boldmath$\delta$}$-frase entonces $\mbox{\boldmath$\delta$}$ la satisface, i.e.
   
   $$\langle \mbox{\boldmath $\delta$} \vert \mbox{\rm Frase}(\mbox{\boldmath $\epsilon$}) \rangle = 1.$$
   
   

2. Si $\mbox{\rm Claus}(\mbox{\boldmath$\epsilon$})$ es una $\mbox{\boldmath$\delta$}$-cláusula entonces $\overline{\mbox{\boldmath$\delta$}}$ la refuta, i.e.
   
   $$\langle \overline{\mbox{\boldmath $\delta$}} \vert \mbox{\rm Claus}(\mbox{\boldmath $\epsilon$}) \rangle =0.$$
   
   

3. Una forma disyuntiva es una tautología si y sólo si para cada $\mbox{\boldmath$\delta$}\in\mbox{\rm Dos}^n$ hay una $\mbox{\boldmath$\delta$}$-frase incluída en la forma disyuntiva. Recíprocamente, una forma disyuntiva $\mbox{\it FD}$ es refutable si y sólo si existe una $\mbox{\boldmath$\delta$}\in\mbox{\rm Dos}^n$ tal que ninguna frase que aparezca en $\mbox{\it FD}$ es una $\mbox{\boldmath$\delta$}$-frase. En tal caso, $\mbox{\boldmath$\delta$}$ es precisamente una asignación que refuta a $\mbox{\it FD}$. Así por ejemplo si una forma disyuntiva no posee frases positivas entonces es refutable.
4. Una forma conjuntiva es insatisfactible si y sólo si para cada $\mbox{\boldmath$\delta$}\in\mbox{\rm Dos}^n$ hay una $\mbox{\boldmath$\delta$}$-cláusula incluída en la forma conjuntiva. Recíprocamente, una forma conjuntiva $\mbox{\it FC}$ es satisfactible si y sólo si existe una $\mbox{\boldmath$\delta$}\in\mbox{\rm Dos}^n$ tal que ninguna cláusula que aparezca en $\mbox{\it FC}$ es una $\overline{\mbox{\boldmath$\delta$}}$-cláusula. En tal caso, $\mbox{\boldmath$\delta$}$ es precisamente una asignación que satisface a $\mbox{\it FC}$. Así por ejemplo si una forma conjuntiva no posee cláusulas negativas entonces es satisfactible.

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