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Aritmética de Peano

En las tablas 3.63.7 presentamos dos signaturas para la ARITMÉTICA DE PEANO, sin embargo, en la presentación ulterior de la aritmética de Peano supondremos la signatura de la tabla 3.6.

Table: Signatura $\mbox{\it AP}$ de la Aritmética de Peano.
\fbox{\begin{minipage}[t]{10em}
\begin{tabular}{lclcl}
{\em Constantes} &:& $0...
...
{\em Relaciones} &:& $=$\ &-& igual a (binaria)
\end{tabular}
\end{minipage}}



Table: Signatura $\mbox{\it AP}_1$ de la Aritmética de Peano.
\fbox{\begin{minipage}[t]{38em}
\begin{tabular}{lclcl}
{\em Constantes} &:& Nu...
...a (binaria)\\
&:& $<$\ &-& menor que (binaria)
\end{tabular}
\end{minipage}}


En la aritmética de Peano, se introduce la relación de desigualdad como una fórmula:

\begin{displaymath}(x\leq y)\equiv \exists z(x+z=y).\end{displaymath}

Con esto, sea $P^-$ el conjunto de los siguientes axiomas propios:

\begin{displaymath}\begin{array}{l\vert l}
\begin{array}[t]{c}
s(x)\not= 0 \\ ...
...x\cdot z \\
x+y=x+z \rightarrow y=z
\end{array}
\end{array}\end{displaymath}

Sea $\mbox{\it AP}=P^-\cup \mbox{\it EI}$, donde EI es el ESQUEMA DE INDUCCIÓN: Para cualquier fórmula $\phi$,

\begin{displaymath}\phi(0,\mbox{\bf x})\land\forall x(\phi(x,\mbox{\bf x})\right...
...),\mbox{\bf x}))
\rightarrow \forall x(\phi(x,\mbox{\bf x})).\end{displaymath}

Ejemplo 5.1   $({\mathbb{N}},\mbox{\it id})$ es una estructura-AP, donde ${\mathbb{N}}$ es el conjunto de números naturales e id es la interpretación usual de los símbolos aritméticos.

Ejemplo 5.2   El conjunto de funciones de los naturales en los naturales $\mbox{\bf N}={\mathbb{N}}^{{\mathbb{N}}}$ es una estructura-AP con la interpretación de los símbolos ``punto-a-punto'':

Cero $0$ : $\Phi(0)=\mbox{\bf0}$, donde $\mbox{\bf0}:n\mapsto 0$ es la función cero,
Sucesor $s$ : $\Phi(s):f\mapsto f'$, donde $f':n\mapsto s(f(n))$ es la función $f+1$,
Suma $+$ : $\Phi(+):(f,g)\mapsto f+g$, donde $f+g:n\mapsto f(n)+g(n)$ es la función suma punto-a-punto,
Igualdad $=$ : $\Phi(=)=\{(f,g)\vert\forall n:f(n)=g(n)\}$, es decir, dos funciones son iguales si lo son sus correspondientes valores en cada punto.
Presentaremos una tercer estructura de AP. El FILTRO DE FRÈCHET ${\cal F}=\left\{\left\{m\in{\mathbb{N}}\vert m\geq n\right\}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}$ es, en efecto, un filtro.

Ejemplo 5.3   Sea ${\cal U}$ un ultrafiltro en ${\mathbb{N}}$ que extienda al filtro de Frèchet y sea $\sim_{{\cal U}}$ la relación en $\mbox{\bf N}$ definida como

\begin{displaymath}f\sim_{{\cal U}} g\ \Leftrightarrow\ \{n\in{\mathbb{N}}\vert f(n)=g(n)\}\in U.\end{displaymath}

$\sim_{{\cal U}}$ es una relación de equivalencia congruente con las operaciones de $\mbox{\bf N}$ y por tanto ${\mathbb{N}}^*=\mbox{\bf N}/\sim_{{\cal U}}$ es una estructura-AP.

Por ejemplo, la fórmula de la aritmética de Peano

\begin{displaymath}\phi_0 \equiv \forall x(x\not=0\rightarrow\exists y(s(y)=x)\end{displaymath}

que asevera que todo elemento no nulo posee un antecesor es válida en ${\mathbb{N}}$, no lo es en $\mbox{\bf N}$ pues la función $x\mapsto(x\mbox{\rm mod }2)$ es no-nula mas no posee antecesor alguno. Sin embargo, $\phi_0$ sí es verdadera en ${\mathbb{N}}^*$.
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Guillermo Morales-Luna
2004-07-27