Posterior: About this document ... Arriba: La conjetura de Catalan Anterior: Motivación

Formulación

En la primera mitad del siglo XIX Catalan conjeturó que las únicas potencias sucesivas en los naturales son 8 y 9. En otras palabras:

$$\forall x,n,y,m:\;x^n-y^m=1\Leftrightarrow x=3\land n=2\land y=2\land m=3.$$

Sea $N_2=\{x\in {\mathbb{N}}\vert n\geq 2\}.$ Hasta ahora la conjetura de Catalan ha permanecido abierta. Sin embargo ha habido ``algunos avances''.

Proposición 5.3 (Tijdeman, 1970)   Si $(x,n,y,m)\in N_2^4$ es una solución de la ecuación de Catalan entonces existe una constante $C$ efectivamente computable, tal que $\max(x,n,y,m)\leq C.$

El problema entonces es estimar la constante $C$.

Proposición 5.4 (Langevin, 1976)   La constante $C$ satisface la desigualdad $C\leq\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)\right)\right).$

Ya que $\mbox{\rm exp}\left(x\right)=10^{\log(e^x)}=10^{x\cdot \log(e)}$ y $\log(e)= 0.4342944819033\ldots$ se tiene que

$\mbox{\rm exp}\left(730\right)$	se escribe (en decimal) con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
$\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)$	tiene una longitud (en decimal) que se escribe con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
$\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)\right)$	tiene una longitud (en decimal) cuya longitud se escribe con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
$\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)\right)\right)$	tiene una longitud (en decimal) cuya longitud tiene una longitud cuya longitud se escribe con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,

El número de átomos en el Universo es ``apenas'' del orden de $10^{100}$. Luego, si contamos un ``Universo'' por cada átomo del Universo tendremos $10^{200}$ átomos. A esta cantidad habría que multiplicarla por $10^{65}$ para obtener sólo la primera cantidad de la lista anterior.

Proposición 5.5 (Baker, 1982)   Para soluciones $x,n,y,m$ de la ecuación de Catalan, con los cuatro números mayores o iguales que 3, se ha de tener necesariamente que

$$\max(x,y) \leq \min\left\{\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\... ...t(\mbox{\rm exp}\left((5m)^{10}n^{10n^3}\right)\right)\right\}.$$

Fijos $n$ y $m$, para buscar las posibles soluciones $(x,y)$ utilizando una CRAY se necesitaría una cantidad de tiempo comparada con la cual toda la edad del Universo equivaldría a un mero parpadeo. Sin embargo, ¡¡todo lo involucrado es computable!!
Posterior: About this document ... Arriba: La conjetura de Catalan Anterior: Motivación