Siguiente: Pesos mínimos Arriba: Códigos lineales Anterior: Códigos lineales

Matrices generatrices, de paridad y sistemáticas

Sea $\mathbb{K}$ un campo cualquiera finito, de cardinalidad, digamos, $q$, el cual es, por consiguiente, una potencia de la característica de $\mathbb{K}$. Para cada $n\geq 0$ denotemos por $\mathbb{K}^n$ a su $n$-ésima potencia cartesiana dotada de su estructura usual de espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{K}$.

Definición 5.1   Todo subespacio $C<\mathbb{K}^n$ de dimensión $k$ es un código lineal-$(n,k)$ sobre el alfabeto $\mathbb{K}$.

Todo código lineal-$(n,k)$ tiene $k$ símbolos de información y $n-k$ símbolos de revisión. Está conformado por $q^k$ palabras de código.

Si $\left\{{\bf a}_j\right\}_{j=0}^{k-1}\subset\mathbb{K}^n$ es una base de $C$, la matriz $A=\left[{\bf a}_j\right]_{j=0}^{k-1}\in\mathbb{K}^{n\times k}$, cuyas columnas son los vectores en la base, se dice ser generatriz del código $C$. En tal caso, la transformación $A:\mathbb{K}^k\to\mathbb{K}^n$, ${\bf x}\mapsto{\bf y}=A{\bf x}$, tiene como imagen a $C$ precisamente. Mediante la aplicación de una transformación lineal de permutación $P$ en el espacio $\mathbb{K}^n$, se tiene $A_s=PA$ donde $A_s$ es una matriz generatriz de la forma $A_s=\left[\begin{array}{c} I_{k} \\ A_r\end{array}\right]$, con $A_r\in\mathbb{K}^{(n-k)\times k}$, llamada sistemática.

Definición 5.2   Dos códigos $C$ y $D$ se dicen equivalentes si una generatriz de uno se obtiene mediante la aplicación de una matriz de permutación a la generatriz del otro.

Así todo código lineal es equivalente a otro con una generatriz sistemática.

Definición 5.3   Una matriz $B\in\mathbb{K}^{(n-k)\times n}$ es revisora de paridad para un código lineal-$(n,k)$ $C<\mathbb{K}^n$ si se cumple:

$$\forall {\bf y}\in\mathbb{K}^n:\ \left[ {\bf y}\in C\ \Longleftrightarrow\ B{\bf y}={\bf0} \right] .$$

Se tiene, de manera natural:

$$\left[\begin{array}{c} I_{k} \\ A_r\end{array}\right] \ \mbox... ...ow\ \left[-A_r \ \ I_{n-k}\right]\ \mbox{ revisora de paridad.}$$

Por tanto se tiene que toda matriz revisora de paridad posee rango $n-k$.

Definición 5.4   Dado un código lineal-$(n,k)$ $C<\mathbb{K}^n$, su código dual es $C^{\perp}=\{{\bf y}\in\mathbb{K}^n\vert\ \langle{\bf y}\vert{\bf x}\rangle=0\ \forall {\bf x}\in C\}$.

Naturalmente, la matriz revisora de paridad de un código es la generatriz del dual y, viceversa, la generatriz es la revisora de paridad del dual.

Definición 5.5   Si $B\in\mathbb{K}^{(n-k)\times n}$ es la matriz revisora de paridad de un código lineal-$(n,k)$ $C<\mathbb{K}^n$ entonces la transformación lineal $B:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^{n-k}$, ${\bf y}\mapsto B{\bf y}$, se dice ser de síndrome. El valor $B{\bf y}$ es el síndrome de la palabra ${\bf y}$.

Así tenemos que las palabras en el código son exactamente aquellas con síndrome nulo. En otras palabras, el núcleo de la transformación de síndrome es el código mismo.

Siguiente: Pesos mínimos Arriba: Códigos lineales Anterior: Códigos lineales