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Formulación

En la primera mitad del siglo XIX Catalan conjeturó que las únicas potencias sucesivas en los naturales son 8 y 9. En otras palabras:

\begin{displaymath}\forall x,n,y,m:\;x^n-y^m=1\Leftrightarrow x=3\land n=2\land y=2\land m=3.\end{displaymath}

Sea $N_2=\{x\in I\!\!N\vert n\geq 2\}.$ Hasta ahora la conjetura de Catalan ha permanecido abierta. Sin embargo ha habido ``algunos avances''.

Proposición 4.3 (Tijdeman, 1970)   Si $(x,n,y,m)\in N_2^4$ es una solución de la ecuación de Catalan entonces existe una constante C efectivamente computable, tal que $\mathop{\rm Max}(x,n,y,m)\leq C.$

El problema entonces es estimar la constante C.

Proposición 4.4 (Langevin, 1976)   La constante C satisface la desigualdad $C\leq\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)\right)\right).$

Ya que $\mbox{\rm exp}\left(x\right)=10^{\log(e^x)}=10^{x\cdot \log(e)}$ y $\log(e)= 0.4342944819033\ldots$ se tiene que
$\mbox{\rm exp}\left(730\right)$ se escribe (en decimal) con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
$\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)$ tiene una longitud (en decimal) que se escribe con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
$\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)\right)$ tiene una longitud (en decimal) cuya longitud se escribe con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
$\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)\right)\right)$ tiene una longitud (en decimal) cuya longitud tiene una longitud cuya longitud se escribe con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
El número de átomos en el Universo es ``apenas'' del orden de 10100. Luego, si contamos un ``Universo'' por cada átomo del Universo tendremos 10200 átomos. A esta cantidad habría que multiplicarla por 1065 para obtener sólo la primera cantidad de la lista anterior.

Proposición 4.5 (Baker, 1982)   Para soluciones x,n,y,m de la ecuación de Catalan, con los cuatro números mayores o iguales que 3, se ha de tener necesariamente que

\begin{displaymath}\mathop{\rm Max}(x,y) \leq \mathop{\rm Min}\left\{\mbox{\rm e...
...t(\mbox{\rm exp}\left((5m)^{10}n^{10n^3}\right)\right)\right\}.\end{displaymath}

Fijos n y m, para buscar las posibles soluciones (x,y) utilizando una CRAY se necesitaría una cantidad de tiempo comparada con la cual toda la edad del Universo equivaldría a un mero parpadeo. Sin embargo, ¡¡todo lo involucrado es computable!!
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Guillermo Morales-Luna
2000-07-10