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Residuos cuadráticos en general

Para un primo impar p y un entero a primo relativo con p definamos

$$\left(\frac{a}{p}\right)=\left\{\begin{array}{ll} +1 &\mbox{... ...mod }p$,} \\ -1 &\mbox{\rm en otro caso.} \end{array}\right.$$

Se tiene las propiedades siguientes:

$$\begin{eqnarray*}% latex2html id marker 30870 \addtocounter{jac1}{1}\arabic{jac1... ...rac{q-1}{2}} \mbox{\rm : {\em Ley gaussiana de reciprocidad}.} \end{eqnarray*}$$

Ejemplo: Caracterizar a los primos p tales que 3 es residuo cuadrático módulo p. Se tiene

$$\left(\frac{3}{p}\right)=\left(\frac{p}{3}\right)(-1)^{\frac{p-1}{2}}.$$

Por un lado

$$\left(\frac{p}{3}\right)=\left\{\begin{array}{ll} +1 &\mbox{... ... &\mbox{\rm si $p\equiv2\mbox{\rm mod }3$.} \end{array}\right.$$

y por otro lado

$$(-1)^{\frac{p-1}{2}}=\left\{\begin{array}{ll} +1 &\mbox{\rm ... ... &\mbox{\rm si $p\equiv3\mbox{\rm mod }4$.} \end{array}\right.$$

Por tanto $\left(\frac{3}{p}\right)=1$ cuando y sólo cuando

$$[(p\equiv1\mbox{\rm mod }3)\&(p\equiv1\mbox{\rm mod }4)]\;\mb... ... o }\;[(p\equiv2\mbox{\rm mod }3)\&(p\equiv3\mbox{\rm mod }4)],$$

lo cual equivale a que p sea congruente con 1 o con 11 módulo 12. En la Tabla 1 presentamos las raices cuadradas de 3 para algunos primos congruentes con 11 módulo 12.

 

Table 8.1: Raices cuadradas de 3 para primos congruentes con 11 módulo 12.

p
$\equiv$	x0	x1
$11\mbox{\rm mod }12$
251	76	175
263	23	240
311	25	286
347	95	252
359	163	196
383	159	224
419	29	390

Ahora, si a,b son primos relativos, b es impar y

$$b=p_0\cdot\cdots\cdot p_k$$

es la descomposición en primos de b, definimos

$$\left(\frac{a}{b}\right)=\prod_{i=0}^k \left(\frac{a}{p_i}\right).$$

En este caso tenemos que la congruencia

$$x^2\equiv a\mbox{\rm mod }b$$

tiene solución si y sólo si $\forall i$ la congruencia

$$x^2\equiv a\mbox{\rm mod }p_i$$

posee una solución. Así pues

$$\exists x:\;x^2\equiv a\mbox{\rm mod }b\;\Rightarrow\;\left(\frac{a}{b}\right)=1,$$

aunque el recíproco no se cumple. Las propiedades anteriores permiten decidir efectivamente cuándo un número es un residuo cuadrático módulo alguno otro. Sin embargo estas demostraciones ¡NO SON CONSTRUCTIVAS!
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