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Cálculo proposicional difuso

Recordamos que Gottfried Wilhelm Leibniz² planteó en el s. XVII la necesidad de un calculus ratiocinator que sería un sistema con un propio formalismo que permitiera la manipulación simbólica de enunciados, en concordancia con las leyes de la lógica, para descubrir nuevas verdades o bien para verificar como verdaderas a tesis postuladas como tales. Por lo menos desde entonces se reconoció la relevancia del manejo (procesamiento) simbólico de enunciados lógicos. Naturalmente, George Boole³ y Gottlob Frege⁴ contribuyeron de manera notabilísima en el origen mismo del razonamiento automático. Mas, desde la perspectiva de las lógicas difusas, en los antecedentes de ellas es necesario mencionar a Jan ukasiewicz⁵. En su sistema trivaluado, si a los valores de verdad Falso, Desconocido y Verdadero se les representa, respectivamente, por los valores numéricos 0, $1/2$ y 1, entonces las nociones de complemento $n(x)=1-x$, conjunción $c(x,y)=\min(x,y)$ y disyunción $d(x,y)=\max(x,y)$, corresponden a la interpretación intuitiva de esos conectivos lógicos (invitamos al lector a que escriba las tablas de verdad de los conectivos y a que se cerciore de esta aseveración). Este sistema trivaluado entraña, ciertamente, una noción de difusidad. En un cálculo proposicional difuso se tiene inicialmente una colección de proposiciones primitivas, o ``atómicas'', una serie de conectivos lógicos y reglas definidas de ``buena formación'' de proposiciones ``compuestas'' a partir de las atómicas. Cada proposición puede asumir un valor de verdad que puede ser Falso, o Verdadero o alguno otro ``entre'' esos dos valores extremos de verdad. Cada conectivo lógico tiene asociada una función que determina el valor de verdad de la proposición resultante de él en términos de los valores de verdad de las proposiciones que componen a esa proposición resultante. Resultan entonces sendos problemas ``de deducción'' (dado que los valores de las proposiciones atómicas quedan caracterizados, se ha de caracterizar los de proposiciones compuestas partiendo de ellas) y ``de inferencia'' (dado que los valores de las proposiciones compuestas han sido observados, se ha de formular hipótesis, y además probarlas, respecto a los valores de las proposiciones atómicas involucradas que debieron dar origen a los valores observados). En lo que sigue, detallaremos esta construcción de un cálculo proposicional difuso. Comencemos con conjuntos de valores de verdad a los cuales llamaremos de valuaciones. Un conjunto de valuación ${\cal V}$ puede ser finito o bien puede ser un contínuo. Como ejemplos de valuaciones finitas consideremos primero un enfoque de creencias, que a cada proposición atómica le asocia una etiqueta lingüística tal como:

Falso Casi_falso Tal_vez_falso Desconocido Tal_vez_cierto Casi_cierto Verdadero

o bien, con un enfoque de ``posesión de atributos'' del tipo ``$p$ es $A$'', las etiquetas lingüísticas pueden ser

Definitivamente_no Más_bien_no Al_parecer_no No_se_sabe
Al_parecer_sí Más_bien_sí Definitivamente_sí

De este segundo tipo son las mediciones de variables de control cuando éstas varían de manera discreta, es decir, cuando los aparatos de medición detectan tan solo cambios de una determinada magnitud. El vendedor de telas en la mercería de la esquina mide longitudes con un metro marcado hasta centímetros. Sus ``etiquetas lingüísticas'' serían

.00 .01 .02 $\cdots$ .5 $\cdots$ .98 .99 1.

Si ${\cal V}$ es un conjunto de valuación finito, entonces al enumerar a sus elementos, digamos ${\cal V}=\{v_0,\ldots,v_{n-1}\}$, se puede suponer que esa enumeración concuerda con el orden interno de ${\cal V}$, es decir, si $i<j$ entonces la etiqueta lingüística $v_i$ es menor, en el orden de ${\cal V}$, que $v_j$. En tal caso, ${\cal V}$ puede identificarse con un subconjunto de números entre 0 y 1, incluyendo éstos, de manera que el primer elemento $v_0$ corresponda a 0 y el último, $v_{n-1}$, corresponda a 1 (esto se logra si a cada $v_i$ se le asocia el número $i/(n-1)$ lo cual daría una distribución uniforme de las etiquetas en el intervalo $[0,1]$ pero ciertamente ésta no es la única manera de insertar a ${\cal V}$ en $[0,1]$, la manera en la que se inserte dependerá de la aplicación, evidentemente). Como ejemplos de valuaciones contínuas tenemos los que resultan cuando se estima ``probabilidades de ocurrencia''. Si a una proposición $p$ se le asocia la probabilidad de que ocurra (en cierto espacio de eventos) entonces su valor de verdad puede ser un número real entre 0 y 1 inclusive. O bien, cuando se observa una parámetro $p$ en algún proceso, el cual varía de manera contínua y puede asumir valores entre uno mínimo $a$ y otro máximo $b$, entonces el propio intervalo $[a,b]$ constituye un espacio de valuación contínuo. Utilizando una sencilla regla de tres, es decir, asociándole a cada número $x$ entre $a$ y $b$, el número $y=(x-a)/(b-a)$ se puede identificar al conjunto de valuación ${\cal V}=[a,b]$ con el intervalo $[0,1]$. Así pues, sin ninguna pérdida de generalidad, podremos suponer siempre que el conjunto de valuación ${\cal V}$ es un subconjunto del intervalo $[0,1]$ y contiene a los extremos 0 y 1. Supondremos también que es simétrico respecto al punto medio $1/2$, es decir, supondremos que si para un número $x$ se tiene que $x$ está en ${\cal V}$ entonces $1-x$ está también en ${\cal V}$. Para construir un cálculo proposicional difuso, elijamos un conjunto ${\cal P}_0$ de proposiciones atómicas. Una asignación es una correspondencia que a cada átomo $p$ en ${\cal P}_0$ le asocia bien un valor $v(p)$ en ${\cal V}$ o bien lo deja sin ningún valor asociado. Supongamos ahora que se tiene tres conectivos lógicos: complemento $\neg$, conjunción $\land$ y disyunción $\lor$, cada una con una respectiva operación de evaluación, digamos $f_{\neg},f_{\cap},f_{\cup}$. Entonces la colección de proposiciones booleanas compuestas ${\cal P}_B$ se define como sigue: Todo átomo $p$ es un elemento de ${\cal P}_B$; el complemento de una proposición en ${\cal P}_B$ está también en ${\cal P}_B$; y la conjunción y la disyunción de dos proposiciones en ${\cal P}_B$ están también en ${\cal P}_B$. Toda asignación $v$, definida sobre los átomos se extiende naturalmente a una asignación $v^*$ definida en toda la colección ${\cal P}_B$. A saber: Si $p$ es un átomo, entonces $v^*(p):=v(p)$. Si para una proposición $p$ en ${\cal P}_B$ se tiene $x=v^*(p)$ entonces $v^*(\neg p):=f_{\neg}(v^*(p))$. Similarmente, si para dos proposiciones $p,q$ en ${\cal P}_B$ se tiene $x=v^*(p)$, $y=v^*(q)$ entonces

$$v^*(p\cap q):=f_{\cap}(v^*(p),v^*(q)) \mbox{ y } v^*(p\cup q):=f_{\cup}(v^*(p),v^*(q)).$$

En jerga técnica, se dice que la asignación $v^*$ está propagando incertidumbres partiendo de la asignación $v$. Ya hemos visto ejemplos de funciones de evaluación en la sección anterior. En la tabla 1 presentamos un resumen de ellas en el contexto actual y además presentamos una nueva colección de funciones de evaluación debidas también a ukasiewicz.

Tabla 1: Funciones de evaluación para conectivos de complemento, conjunción y disyunción.

(a) Proporcionalidad	(b) Creencia
(c) Probabilístico	(d) ukasiewicz

Hasta ahora hemos sólo considerado tres tipos de conectivos lógicos: complemento, conjunción y disyunción. Sin embargo, los demás quedan prácticamente determinados pues siempre se puede definir a la implicación haciendo $(p\rightarrow q) \equiv \neg p \lor q$ y a la equivalencia lógica haciendo, por ejemplo, $(p\leftrightarrow q) \equiv (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$. Recíprocamente, si se tuviese definidas únicamente funciones de evaluación para el complemento y para una implicación ``$\rightarrow$'' entonces se podría definir a los demás conectivos haciendo: $(p\lor q)\equiv (\neg p)\rightarrow q$, $(p\land q)\equiv \neg (p\rightarrow (\neg q))$, y $(p\leftrightarrow q)\equiv (p\rightarrow q)\land(q\rightarrow p)$. En varias lógicas difusas se procede según esto último. Así pues, cada posible selección de funciones de evaluación de conectivos da origen a un distinto cálculo proposicional difuso. Lo que tienen en común todos ellos es que cuando se les restringe a considerar sólo valores de verdad deterministas $0=\mbox{\em Falso}$ y $1=\mbox{\em Verdadero}$ entonces coinciden con el cálculo proposicional clásico. No se puede afirmar que ninguno de los presentados aquí es el correcto. Dependiendo de algunas aplicaciones acaso uno de ellos es el más adecuado, mas dejará de serlo, cuando se cambie de aplicaciones.
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