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Transformaciones de Lorentz

El espacio-tiempo es el espacio real de 4 dimensiones, $\mathbb{R}^4$. Si ${\bf x} = (x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4$, diremos que las tres primeras coordenadas son espaciales y la cuarta $x_3=t$ es temporal. Ahí consideramos la forma cuadrática $G_c:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ dada por la matriz

$$G_c = \mbox{diag}[1\ \ 1\ \ 1\ \ -c^2] = \left(\begin{array}... ...& 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -c^2 \end{array}\right)$$ (1.1)

con $c\in\mathbb{R}^+$ (usualmente $c$ es la velocidad de la luz). Se tiene pues:

$$\forall{\bf x} \in\mathbb{R}^4:\ G_c({\bf x}) = {\bf x}^TG_c{\bf x}.$$

Ahora bien:

$$G_c({\bf x})\leq 0\ \Longleftrightarrow\ \frac{1}{x_3^2}\left... ...^2+x_1^2+x_2^2\right)\leq c^2\ \Longleftrightarrow\ v^2\leq c^2$$

donde

$$v^2=\frac{1}{x_3^2}\left(x_0^2+x_1^2+x_2^2\right) = \frac{\Vert(x_0,x_1,x_2)\Vert^2}{t^2}.$$ (1.2)

Así el espacio $\mathbb{R}^4$ queda dividido en tres conjuntos:

$$\begin{array}{rcl} G_c^- &=& \{{\bf x}\in\mathbb{R}^4\vert\ ... ...bb{R}^4\vert\ x_0^2+x_1^2+x_2^2 > c^2x_3^2\} %\\ \end{array}$$ (1.3)

llamadas respectivamente de puntos temporales, lumínicos y espaciales.

Con fines de normalización, consideremos $c=1$ y $G=G_1$. La pareja $(\mathbb{R}^4,G)$ se dice ser el espacio de Minkowski. Sea $Q_G:\mathbb{R}^4\times\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}$, $({\bf x},{\bf y})\mapsto Q_G({\bf x},{\bf y}) = ({\bf x}-{\bf y})^TG_c({\bf x}-{\bf y})$.

Para un punto ${\bf z}\in\mathbb{R}^4$, la traslación $T_{{\bf z}}:{\bf x}\mapsto {\bf x}-{\bf z}$, es tal que $Q_G(T_{{\bf z}}({\bf x}),T_{{\bf z}}({\bf y})) = Q_G({\bf x},{\bf y})$, es decir, es una isometría. Para una transformación lineal $L:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ se tendrá

$$\left[\forall{\bf x},{\bf y} \in\mathbb{R}^4:\ Q_G(L({\bf x})... ...)) = Q_G({\bf x},{\bf y})\right]\ \Longleftrightarrow\ L^TGL=G.$$

Sea ${\cal L} = \{L\in\mathbb{R}^{4\times 4}\vert\ L^TGL=G\}$. Claramente, ${\cal L}$ es un subgrupo del grupo multiplicativo $(\mathbb{R}^{4\times 4},\cdot)$ de matrices de orden $4\times 4$, y se llama grupo de transformaciones de Lorentz. Al escribir una matriz $L\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ como $L= \left(\begin{array}{cc} L_e & \ell_{et} \\ \ell_{te}^T & \ell_{tt} \end{array}\right)$, se tiene

$$\begin{eqnarray*} L^TGL &=& \left(\begin{array}{cc} L_e^T & \ell_{te} \\ \ell_{... ...ell_{te}^T & \ell_{et}^T\ell_{te}-\ell_{tt}^2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

por tanto $L\in{\cal L}$ si y sólo si se cumplen las condiciones siguientes:

$$\begin{array}{rcl} L_e^TL_e -\ell_{te}\ell_{te}^T &=& \mbox{... ..._{te} \\ \ell_{et}^T\ell_{te}-\ell_{tt}^2 &=& -1 \end{array}$$ (1.4)

En particular, valen las relaciones (1.4) si $\ell_{et} = \ell_{et} = [0\ \ 0\ \ 0]^T$, $\vert\ell_{tt}\vert=1$ y $L_e\in \mbox{O}(3)$ es una matriz unitaria de orden $3\times 3$. Tenemos así que el grupo $\mbox{O}(3)$ se identifica con un subgrupo del grupo de Lorentz mediante el monomorfismo $\mu:L_e\mapsto\left(\begin{array}{cc} L_e & {\bf0} \\ {\bf0}^T & 1 \end{array}\right)$. Si se considera el grupo especial $\mbox{SO}(3)$ que consta de las transformaciones unitarias que preservan orientación, es decir aquellas con determinante 1, su imagen $\mu(\mbox{SO}(3))$ es el grupo especial de Lorentz. De hecho, es usual escribir $\mu(\mbox{O}(3))=\mbox{O}(3,1)$ y $\mu(\mbox{SO}(3))=\mbox{SO}(3,1)$.

Por ejemplo, una rotación

$$L = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos s & ... ...{\rm sen}\,s & \cos s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

con $s\in[-\pi,\pi]$, es un elemento de $\mbox{SO}(3,1)$.

Como otro ejemplo, una rotación espacio-temporal (llamada en inglés boost (empujón)) es de la forma

$$L_s = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 ... ...\ 0 & 0 & -\,\mbox{\rm senh}\,s & \cosh s \end{array}\right)$$ (1.5)

con $s\in\mathbb{R}$. La transformación $L_s$ satisface las relaciones (1.4), por lo que está en el grupo de Lorentz. Dado un sistema de referencia con coordenadas ${\bf x} = (x_0,x_1,x_2,t)$, sea $(u_0,u_1,u_2,t_u)={\bf u} = L_s({\bf x})$ el vector de coordenadas de un nuevo sistema al aplicar $L_s$. Se tiene que cuando $u_2=0$, se ha de tener $x_2 \cosh s - t\,\mbox{\rm senh}\,s=0$, o sea

$$v=\frac{x_2}{t}=\frac{\,\mbox{\rm senh}\,s}{\cosh s}=\tanh s\mbox{ por lo cual }s=\tanh^{-1}v.$$

de donde, en general se tendrá

$$u_2 = \frac{x_2-vt}{\sqrt{1-v^2}}\ \ ,\ \ t_u = \frac{t-vx_2}{\sqrt{1-v^2}}.$$ (1.6)

Las relaciones (1.6) determinan el estrechamiento de la distancia y la dilatación del tiempo. El eje $u_2$ (en el espacio imagen) es $U_2=\{(u_0,u_1,u_2,t_u)\in\mathbb{R}^4\vert\ u_0=u_1=t_u=0\}$ y el eje $t_u$ es $T_u=\{(u_0,u_1,u_2,t_u)\in\mathbb{R}^4\vert\ u_0=u_1=u_3=0\}$. Sus imágenes inversas bajo la rotación espacio-temporal son respectivamente

$$\begin{eqnarray*} L_s^{-1}(U_2) &=& \{(x_0,x_1,x_2,t)\in\mathbb{R}^4\vert\ x_0=x... ..._0,x_1,x_2,t)\in\mathbb{R}^4\vert\ x_0=x_1=0\ \&\ t=x_2\tanh s\} \end{eqnarray*}$$

de donde se ve que ``tiempo'' y ``distancia'' en el marco ``x'' se intercambian en el marco ``u''. Ahora bien

$$v=\tanh s\mathop{\longrightarrow}_{s\to+\infty}+1\mbox{ y }v=\tanh s\mathop{\longrightarrow}_{s\to-\infty}-1,$$

así que al ``acercarse a la velocidad de la luz'', $L_s^{-1}(U_2)$ y $L_s^{-1}(T_u)$ tienden a las rectas $x_2=\pm t$, similarmente, en el marco ``u'', $U_2$ y $T_u$ tienden a las rectas $u_2=\pm t_u$.

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