Cálculo del residuo

Si suponemos que una función ${\cal F} (z)$ tiene un polo simple en z=a podemos calcular el residuo mediante la fórmula

$$c_{-1}=\lim _{z\rightarrow \ a}(z-a) {\cal F} (z).$$

Porque ${\cal F} (z)=\frac{c_{-1}}{(z-a)}+g(z)$, donde g(z) es analítica en a, luego

$$(z-a) {\cal F} (z)=c_{-1} + (z-a)g(z) \longrightarrow c_{-1}$$

cuando $z\rightarrow a$.

Si el polo ${\cal F} (z)$ en a es un polo doble de suerte que

$${\cal F} (z)=\frac{c_{-2}}{(z-a)^2}+\frac{c_{-1}}{z-a}+g(z)$$

donde g(z) es analítica en a , entonces naturalmente el límite de $(z-a) {\cal F} (z)$ ya no existe. Para determinar c_-1 en este caso observamos que

$$(z-a)^2 {\cal F} (z)=c_{-2}+c_{-1}(z-a)+(z-a)^2g(z)$$

luego

$$\frac {d}{dz}\{(z-a)^2 {\cal F} (z)\} = c_{-1}+2(z-a)g(z)+(z-a)^2g^\prime(z)\rightarrow c_{-1}$$

cuando $z\rightarrow a$.

Por consiguiente, el residuo está dado ahora por la fórmula

$$c_{-1}=\lim_{z\rightarrow a}\frac{d}{dz} \{(z-a)^2 {\cal F} (z)\}$$

``Alternativamente, primero podemos determinar $c_{-2}=\lim_{z\rightarrow a}(z-a)^2f(z)$ y después calcular el residuo del polo simple en a de ${\cal F} (z)-\{c_{-2}/(z-a)^2\}$''.

Análogamente, si ${\cal F} (z)$ tiene un polo de orden n en a, el residuo es

$$c_{-1}=\lim_{z\rightarrow a} \frac{1}{(n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \{(z-a)^n {\cal F} (z)\}$$