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Cálculo del residuo

Si suponemos que una función $ {\cal F} (z)$ tiene un polo simple en z=a podemos calcular el residuo mediante la fórmula

\begin{displaymath}c_{-1}=\lim _{z\rightarrow \ a}(z-a) {\cal F} (z).
\end{displaymath}

Porque $ {\cal F} (z)=\frac{c_{-1}}{(z-a)}+g(z)$, donde g(z) es analítica en a, luego

\begin{displaymath}(z-a) {\cal F} (z)=c_{-1} + (z-a)g(z) \longrightarrow c_{-1}
\end{displaymath}

cuando $z\rightarrow a$.

Si el polo $ {\cal F} (z)$ en a es un polo doble de suerte que

\begin{displaymath}{\cal F} (z)=\frac{c_{-2}}{(z-a)^2}+\frac{c_{-1}}{z-a}+g(z)
\end{displaymath}

donde g(z) es analítica en a , entonces naturalmente el límite de $(z-a) {\cal F} (z)$ ya no existe. Para determinar c-1 en este caso observamos que

\begin{displaymath}(z-a)^2 {\cal F} (z)=c_{-2}+c_{-1}(z-a)+(z-a)^2g(z)
\end{displaymath}

luego

\begin{displaymath}\frac {d}{dz}\{(z-a)^2 {\cal F} (z)\} =
c_{-1}+2(z-a)g(z)+(z-a)^2g^\prime(z)\rightarrow c_{-1}
\end{displaymath}

cuando $z\rightarrow a$.

Por consiguiente, el residuo está dado ahora por la fórmula

\begin{displaymath}c_{-1}=\lim_{z\rightarrow a}\frac{d}{dz} \{(z-a)^2 {\cal F} (z)\}
\end{displaymath}

``Alternativamente, primero podemos determinar $c_{-2}=\lim_{z\rightarrow a}(z-a)^2f(z)$ y después calcular el residuo del polo simple en a de $ {\cal F} (z)-\{c_{-2}/(z-a)^2\}$''.

Análogamente, si $ {\cal F} (z)$ tiene un polo de orden n en a, el residuo es

\begin{displaymath}c_{-1}=\lim_{z\rightarrow a} \frac{1}{(n-1)!}
\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \{(z-a)^n {\cal F} (z)\}
\end{displaymath}



Microcomputadoras
2001-03-09