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Dos casos particulares

Teorema 3.3   Sean $M$ una variedad $C^k$ y $\varphi$ una aplicación $M \to {\mathbb{R}}^n$

1. $\varphi$ es diferenciable en un punto $m \in M$ si y sólo si para algún mapa admisible $(U,x)$ de $M$ en $m$ (luego para todo tal mapa admisible) la aplicación $\varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to {\mathbb{R}}^n$ es diferenciable (C.D.) en el punto $x(m)$.
2. Sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$. La aplicación $\varphi$ es de clase $C^j$ en $M$ si y sólo si para todo punto $m \in M$ existe un mapa admisible $(U,x)$ de $M$ en $m$ tal que la aplicación $\varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to {\mathbb{R}}^n$ es de clase $C^j$ (C.D.) en $x(U)$. (Luego lo mismo ocurre para todo mapa admisible $(U,x)$ de M).

Esto resulta sin más de las definiciones 5.2.1 y 5.2.2 y de los teorema 5.2.3 y 5.3.1 al usar el mapa $({\mathbb{R}}^n ,{\cal I}_{{\mathbb{R}}^n})$ admisible para la estructura natural de variedad $C^\infty$ sobre ${\mathbb{R}}^n$.

Ejemplo 5.1.

Si M es una variedad $C^k$ y $(U,x,n)$ es cualquier mapa admisible de M la aplicación $x \colon U \to x(U)$ es de clase $C^k$.

Basta aplicar el teorema 5.3.2 parte b) con $U$ en papel de $M$ y $x$ en el papel de $\varphi$. Si $\varphi = \colon x$ vale $\varphi \circ x^{-1} = x \circ x^{-1} = {\cal I}_{x(U)}$, que es de clase $C^\infty$ en $x(U)$ por el teorema 5.3.2. Luego $x$ es de clase $C^k$ en $U$. $\quad\Box$

Teorema 3.4   Sean $M$ una variedad $C^k$, $\cal S$ un abierto de ${\mathbb{R}}^n$ y $\varphi$ una aplicación ${\cal S} \to M$.

1. $\varphi$ es diferenciable en un punto $m\in \cal S$ si y sólo si $\varphi$ es continua en $m$ y existe un mapa admisible $(V, y)$ de $M$ en el punto $\varphi(m)$ tal que la aplicación $y \circ \varphi \colon \varphi^{-1} (V) \to y(V)$ es diferenciable C.D. en el punto $m$. (Entonces lo mismo ocurre para todo mapa admisible $(V, y)$ de $M$ en el punto $\varphi(m)$.)
2. Sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$. $\varphi$ es de clase $C^j$ en $\cal S$ si y sólo si es continua y $\forall \, m \in \cal S$ existe un mapa admisible $(V, y)$ de $M$ en $\varphi(m)$ tal que la aplicación $y \circ \varphi \colon \varphi^{-1} (V) \to y(V)$ es de clase $C^j$ (C.D.) en $\varphi^{-1} (V)$. (Entonces lo mismo ocurre para cualquier mapa admisible $(V, y)$ de $M$.)

Demostración

1. Supongamos $\varphi$ diferenciable en el punto $m \in M$. Por el teorema 5.2.2 $\varphi$ es continua en $m$. Sea $(V, y)$ un mapa admisible de $M$ en $\varphi(m)$. $V$ es una vecindad de $\varphi(m)$, luego, por continuidad $\varphi^{-1} (V)$ es una vecindad de $m$ en $\cal S$, o sea, $m$ es un punto interior de $\varphi^{-1} (V)$. Sea $U$ una vecindad abierta de $m$ contenida en $\varphi^{-1} (V)$. Vale $\varphi (U) \subset V$. Por el teorema 5.2.3, aplicado a los mapas admisibles $(U, {\cal I}_U)$ de $\cal S$ en $m$ y $(V, y)$ de $M$ en $\varphi(m)$, la aplicación $y \circ \varphi$ restringida a $U$ es diferenciable C.D. en $m$. Por la propiedad local de la diferencial lo mismo ocurre para la aplicación ampliada $y \circ \varphi \colon \varphi^{-1} (V) \to y(V)$

   Recíprocamente supongamos $\varphi$ continua en $m$ y que existe un mapa admisible $(V, y)$ de $M$ en $\varphi(m)$ tal que $y \circ \varphi \colon \varphi^{-1} (V) \to y(V)$ es diferenciable C.D. en $m$. Esta afirmación tiene sentido, pues, por continuidad de $\varphi$ en $m$ el conjunto $\varphi^{-1} (V)$ es un a vecindad de $m$, o sea $m$ es un punto interior de $\varphi^{-1} (V)$.

   Sea $U$ una vecindad abierta de $m$ contenida en $\varphi^{-1} (V)$. Por el carácter local de la diferencial también $y \circ \varphi$ restringida a $U$ es diferenciable C.D. en $m$. Por el teorema 5.2.3 aplicado a los mapas admisibles $(U, {\cal I}_U)$ en $\cal S$ en $m$ y $(V, y)$ de $M$ en $\varphi(m)$, $\varphi$ es diferenciable en $m$.

2. Sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$. Supongamos que $\varphi$ es de clase $C^j$ en $\cal S$. Esto implica que $\varphi$ es continua. Sean $m\in \cal S$ y $(V, y)$ un mapa admisible de $M$ en $\varphi(m)$. Por continuidad $\varphi^{-1} (V)$ es un abierto de $\cal S$ que contiene $m$.

   Aplicando el teorema 5.2.5 a los mapas $(\varphi^{-1}(V), {\cal I}_{\varphi^{-1}(V)})$ admisible para $\cal S$ y $(V, y)$ admisible para $M$, vemos que la aplicación $y \circ \varphi \colon \varphi^{-1} (V) \to y(V)$ es de clase $C^j$ (C.D.) en $\varphi^{-1} (V)$.

   Recíprocamente supongamos que $\varphi$ es continua y que $\forall \, m \in \cal S$ existe un mapa admisible $(V, y)$ de $M$ en el punto $\varphi(m)$ tal que la aplicación $y \circ \varphi \colon \varphi^{-1} (V) \to y(V)$ es de clase $C^j$ (C.D.) en $\varphi^{-1} (V)$.

   Esta afirmación tiene sentido, pues, por continuidad de $\varphi$ el conjunto $\varphi^{-1} (V)$ es un abierto en $\cal S$. Aplicando la definición 5.2.2 a los mapas $(\varphi^{-1}, {\cal I}_{\varphi^{-1} (V)})$ admisible para $\cal S$ y $(V, y)$ admisible para $M$, vemos que $\varphi$ es de clase $C^j$ en $\cal S$. $\quad\Box$

Ejemplo 5.2

Si M es una variedad $C^k$ y $(U,x,n)$ es cualquier mapa admisible de M la aplicación: $x^{-1} \colon x(U) \to U$ es de clase $C^k.$

Demostración
Aplicamos el teorema 5.3.4 con ${\cal S} = x(U)$, $M = U$ y $\varphi = x^{-1}$. $\varphi$ es continua. Basta usar el solo mapa admisible $(U,x)$ de $U$.

Vale $\varphi^{-1} (U) = x(U)$. $x$ desempeña el papel de $y$ del teorema 5.3.4 y se verifica en $x(U)$:

$$x \circ \varphi = x \circ x^{-1} = {\cal I}_{x(U)}$$

La aplicación ${\cal I}_{x(U)}$ es de clase $C^\infty$ en $x(U)$. De ahí, por el teorema 5.3.4, $x^{-1}$ es de clase $C^k$ en $x(U)$. $\quad\Box$

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