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Aplicaciones de clase $C^j$ de una variedad diferenciable en un espacio afín normado

Como ya observamos arriba, un espacio afín normado de dimensión infinita no es una variedad diferenciable en el marco de nuestro libro. Podemos, sin embargo, imitar la definición 5.3.1 y formular:

Definición 3.2   Sean $M$ una variedad $C^k$ y $\varphi$ una aplicación de $M$ en un espacio afín normado $\cal E$. Sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$. $\varphi$ se dice APLICACIÓN DE CLASE $C^j$ en M si $\forall \, m \in M$ existe un mapa admisible $(U,x)$ de $M$ en el punto $m$ tal que la aplicación $\varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to \cal E$ es de clase $C^j$ (C.D.) en el abierto $x(U)$ de ${\mathbb{R}}^n$.

Teorema 3.8   Sean $M$ una variedad $C^k$ y $\varphi$ una aplicación de $M$ en un espacio afín normado $\cal E$. Sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$. Si $\varphi$ es de clase $C^j$ en $M$, para todo mapa admisible $(U^\prime , x^\prime)$ de $M$ la aplicación $\varphi \circ x^{\prime \, -1 } \colon x^\prime (U^\prime) \to \cal E$ es de clase $C^j$ (C.D.) en $x^\prime (U^\prime)$.

Demostración
La demostración es parecida a la del teorema 5.3.1, pero más simple.

Supongamos la aplicación $\varphi \colon M \to \cal E$ de clase $C^j$ según la definición 5.3.2. Sea $(U^\prime , x^\prime)$ un mapa admisible arbitrario de $M$. Por el carácter local de aplicaciones de clase $C^j$ basta probar que $\forall \, m \in U^\prime$ existe una vecindad abierta $G$ de $m$ contenida en $U^\prime$ tal que la restricción de $\varphi \circ x^{\prime \, -1}$ al abierto $x^\prime (G)$ de ${\mathbb{R}}^n$ es de clase $C^j$ (C.D.).

Sea, pues, $m$ un punto arbitrario de $U^\prime$. Por hipótesis, existe un mapa admisible $(U,x)$ de $M$ en el punto $m$, tal que la aplicación $\varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to \cal E$ es de clase $C^j$ (C.D.) en $x(U)$. Restringiendo $\varphi \circ x^{\prime \, -1}$ a $x^\prime (U \cap U^\prime)$ podemos escribir:

$$\varphi \circ x^{\prime \, -1} = (\varphi \circ x^{-1} ) \circ (x \circ x^{\prime \, -1})$$ (12)

Ahora bien, el cambio de mapa $x \circ x^{\prime\, -1}$ es de clase $C^k$ en $x^\prime (U \cap U^\prime)$. Manda este abierto de ${\mathbb{R}}^n$ sobre el abierto $x(U \cap U^\prime)$. Puesto que $\varphi \circ x^{\prime \, -1}$ es de clase $C^j$ en $x(U \cap U^\prime)$, se sigue de (12) y del teorema 4.5.5, que $\varphi \circ x^{\prime \, -1}$ es de clase $C^j$ en $x^\prime (U \cap U^\prime)$. Al tomar $G = \colon U \cap U^\prime$, nuestra aserción está probada. $\quad\Box$
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