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El espacio vectorial G

Sea G un espacio vectorial de dimensión $2^n$ sobre ${\mathbb{K}}$ provisto de una base ${\displaystyle \left( {\overline e}_H \right)_{H \subset [\![ 1,n ]\!] } }$ en correspondencia biyectiva con el conjunto de todas las $2^n$ partes de $[\![ 1,n ]\!]$.

Aprovechando el teorema 1.1.1 hacemos de G un álgebra sobre ${\mathbb{K}}$ mediante un producto que denotamos $({\overline x},{\overline y}) \mapsto {\overline x} \wedge {\overline y}$ llamado PRODUCTO EXTERIOR. Imponemos la tabla de multiplicación:

$$\fbox{${\displaystyle {\overline e}_H \wedge {\overline e}_K = \rho_{H,K} \,{\overline e}_{H \cup K} }$}$$

Teorema 1.2   G es un álgebra unífera. A saber, el elemento ${\overline e}_\emptyset$ es precisamente el uno de G

Demostración
Para todo $H\subset [\![ 1,n]\!]$ vale $\rho_{\emptyset, H}=\rho_{H,\emptyset} =1$, luego por la tabla de multiplicación:

$${\overline{e}}_\emptyset \wedge {\overline{e}}_H={\overline{e}}_H \wedge {\overline{e}}_\emptyset = {\overline{e}}_H$$

De ahí la conclusión por el teorema 1.1.1 $\quad\Box$

Lema 1.1   $\forall \, H,\,K,\,L \, \subset [\![ 1,n ]\!]$ vale

$$\fbox{$\rho_{H,K} \rho_{H \cup K, L} = \rho_{K,L} \rho_{H,K \cup L} = \rho_{H,K} \rho_{H,L} \rho_{K,L}$\ }$$ (8)

Demostración

Caso 1.

Las partes $H,\,K,\,L$ no son ajenas a pares.

En este caso el último miembro de la fórmula (8) vale cero. Usamos la identidad de teoría de conjuntos:

$$(H \cup K) \cap L = (H \cap L) \cup (K \cap L)$$ (9)

Ya que por hipótesis una por lo menos de las tres intersecciones $H \cap K$, $H \cap L$, $K \cap L$ no es vacía, se sigue de (9) que bien $\rho_{H,K} =0$ o bien $\rho_{(H\cup K), L}=0$. En ambos casos el primer miembro de la fórmula (8) es cero. Análogamente el segundo miembro de dicha fórmula vale cero. Luego la fórmula (8) es correcta.

Caso 2.

$H,\,K,\,L$ son ajenos a pares.

Para probar que el primer miembro de (8) es igual al tercero debemos probar:

$$\rho_{H\cup K , L}=\rho_{H,L} \cdot \rho_{K,L}$$ (10)

Sea $\nu_1$ el número de pares $(i,j)$ con $i\in H,\, j\in L$ tales que $i>j$. Sea $\nu_2$ el número de pares $(i,j)$ con $i\in K,\, j\in L$ tales que $i>j$. Ya que $H\cap K = \emptyset,\, \nu_1+\nu_2$ es el número de inversiones del par $(H \cup K,L)$, luego:

$$\rho_{H\cup K ,L}=(-1)^{\nu_1+\nu_2} =(-1)^{\nu_1}\cdot (-1)^{\nu_2} = \rho_{H,L} \cdot \rho_{K,L}$$

probando (10). Análogamente se prueba que el segundo miembro de la fórmula (8) es igual al tercero. $\quad\Box$

Teorema 1.3   G es un álgebra asociativa sobre ${\mathbb{K}}$.

Demostración
Para tres partes arbitrarias $H,\,K,\,L$ de $[\![ 1,n ]\!]$ tenemos en virtud de la tabla de multiplicación:

$$({\overline{e}}_H \wedge {\overline{e}}_K) \wedge {\overline... ...o_{H,K} \, \rho_{H\cup K ,L} {\overline{e}}_{H \cup K \cup L}$$ (11)

y

$${\overline{e}}_H \wedge ({\overline{e}}_K \wedge {\overline{... ..._{K,L} \, \rho_{H, K \cup L} {\overline{e}}_{H \cup K \cup L}$$ (12)

De (11) y (12) y del lema 1.1.1 se deduce:

$$({\overline{e}}_H \wedge {\overline{e}}_K) \wedge {\overline{... ...verline{e}}_H \wedge ({\overline{e}}_K \wedge {\overline{e}}_L)$$

De ahí la conclusión deseada, por el teorema 1.1.1 $\quad\Box$

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