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Componentes del vector $\gamma ' (t)$

Volvamos un momento al espacio afín $\cal E$ de dimensión finita, provisto de un referencial $(J; \vec{e}_1,\ldots, \vec{e}_n)$. Sea $\pi^i \colon {\cal E} \to {\mathbb{R}}$; $i=1,\ldots,n$ las coordenadas con respecto a dicho referencial, es decir:

$$\pi^i \left( J + \sum_{k=1}^n t^k \vec{e}_k \right) \quad i=1,\ldots, n$$

Sea $\gamma \colon I \to \overline{ {\frak S}}_n$ una curva en $\overline{{\frak S}}_n$ diferenciable en un tiempo $t \in I$. Conocer $\gamma$ equivale a conocer sus funciones coordenadas $\pi^i \circ \gamma \colon I \to {\mathbb{R}}$, pues:

$$\gamma (\tau) = J + \sum_{i=1}^n (\pi^i \circ \gamma) (\tau) \vec{e}_i \quad \forall \, \tau \in I$$ (21)

Derivando en el tiempo $t$ obtenemos de (21) la fórmula familiar:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \gamma'(t) = \sum_{i=1}^n (\pi^i \circ \gamma)'(t) \vec{e}_i}$}}$$ (22)

Generalicemos la fórmula (22) a una curva en una variedad con borde.

Teorema 1.12   Sean $M$ una $n$-variedad $C^k$ con borde $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$ un mapa admisible de $M$ y $\gamma \colon I \to U$ una curva en $U$. (Conocer $\gamma$ equivale a conocer sus ``funciones coordenadas'' $x^i \circ \gamma \colon I \to {\mathbb{R}}$, $i=1,\ldots,n$). Si $\gamma$ es diferenciable en un tiempo $t \in I$, vale:

$$\fbox{${\displaystyle \gamma'(t) = \sum_{i=1}^n (x^i \circ \gamma)'(t) {\partial \over \partial x^i}( \gamma(t))}$}$$

(Fórmula análoga a la fórmula (22) arriba).

Demostración
Por el teorema 6.1.5 que hemos generalizado a variedades con borde (ver consideraciones después del teorema 6.1.9), tenemos:

$$\gamma'(t) = \sum_{i=1}^n \left( \gamma'(t) x^i \right) {\partial \over \partial x^i } (\gamma(t))$$

Pero por definición de $\gamma ' (t)$ se cumple:

$$\gamma'(t) x^i = (x^i \circ \gamma)'(t)$$

de donde la fórmula anunciada. $\quad\Box$

La razón principal para considerar vectores tangentes a curvas es que todo vector tangente a una variedad con borde $M$ en un punto $m$ de ésta puede representarse (de muchas maneras) como un vector tangente a una curva en $M$ que ``pasa por el punto $m$''.

Vale en efecto:

Teorema 1.13   Sean $M$ una $n$-variedad de clase $C^k$ con borde, $m$ un punto de $M$ y $\vec u \in M_m$ un vector tangente arbitrario a $M$ en el punto $m$. Sea $t_0$ un número real arbitrariamente fijado. Existe un intervalo $I$ de ${\mathbb{R}}$ que contiene $t_0$ y una curva $\gamma \colon I \to M$, diferenciable en el tiempo $t_0$ tal que:

$$\fbox{${\displaystyle \gamma (t_0) = m \quad \gamma'(t_0) = \vec u }$}$$

Demostración
Para la precisión en los detalles nos será conveniente distinguir tres casos:

Caso 1. $m \notin {\frak Bd}(M)$.

Si $M$ es una variedad sin borde, este caso será el único por considerar. Usamos un mapa admisible $(U,x)$ de primera especie de $M$ en el punto $m$. Recordamos que según nuestra terminología esto entraña que $x(U)$ es abierto en ${\mathbb{R}}^n$. Sea $x_\ast (m)$ el correspondiente isomorfismo del espacio vectorial tangente $M_m$ sobre el espacio vectorial tangente $\left( {\mathbb{R}}^n \right)_{x(m)}$.

Por el teorema de Ellis, $x_\ast (m) \vec u$ se representa únicamente como la funcional $\partial_{\vec v} (x(m))$ con $\vec v \in {\mathbb{R}}^n$. Por el isomorfismo de Ellis, ésta se identifica con $\vec v$. Escribiremos pues, simplemente:

$$x_\ast (m) \vec u = \vec v \in {\mathbb{R}}^n$$

Por ser $x(U)$ un abierto de ${\mathbb{R}}^n$, $\exists \epsilon >0$ tal que:

$$t \in ]-\epsilon + t_0, \epsilon + t_0[ \;\Rightarrow x(m) + (t-t_0) \vec v \in x(U)$$

Sean $I$ el intervalo abierto $]-\epsilon + t_0 , \epsilon + t_0[$ y $\widetilde{\gamma} \colon I \to x(U)$ la curva en $x(U)$ dada por:

$$\widetilde{\gamma} (t)= \colon x(m) + (t-t_0) \vec v \quad \forall \, t \in I$$

$\widetilde{\gamma}$ es de clase $C^\infty$, en particular es diferenciable en el tiempo $t_0$. Se verifica:

$$\widetilde{\gamma} (t_0) = x(m)$$ (23)

$$\widetilde{\gamma}'(t_0) = \vec v$$ (24)

Sea $\gamma =\colon x^{-1} \circ\widetilde{\gamma}$ la correspondiente curva $I \to U$. Es de clase $C^k$, a mayor abundamiento diferenciable en el tiempo $t_0$. La relación (23) entraña:

$$\gamma(t_0) = m$$ (25)

Por las consideraciones heurísticas antes del teorema 6.1.10, el vector $\widetilde{\gamma}'(t_0)$, identificado con $\partial_{\vec v} (x(m))$, no es otro que el vector tangente a la curva $\widetilde \gamma$ en el tiempo $t_0$ según la definición en este teorema. Cumple:

$$\widetilde{\gamma}'(t_0) = x_\ast (m) \vec u$$ (26)

Pero por el teorema 6.1.11 se verifica también:

$$\widetilde{\gamma}'(t_0) = (x \circ \gamma)' (t_0) = x_\ast (m) ( \gamma'(t_0))$$ (27)

Cotejando (26) con (27) obtenemos, debido a que $x_\ast (m)$ es un isomorfismo:

$$\gamma' (t_0) = \vec u$$ (28)

Las relaciones (25) y (28) establecen el teorema en este caso.

Caso 2. $m \in {\frak Bd}(M)$ y $x_\ast (m) \vec u \in \mbox{\rm Dir }\cal H$ donde se tiene que el hiperplano ${\cal H}= \colon \left\{ t \in {\mathbb{R}}^n \bigm\vert t^1 = 0 \right\}$ es el borde de ${{\frak S}}^{(n)}$. Como en el caso 1 ponemos:

$$\vec v = \colon x_\ast (m) \vec u$$

e identificamos $\vec v$ con un vector de ${\mathbb{R}}^n$.

Vale $x(m) \in \cal H$. Puesto que el conjunto $x(U) \cap \cal H$ es una vecindad abierta del punto $x(m)$ en $\cal H$, existe $\epsilon > 0$ tal que:

$$t \in ] t_0 - \epsilon , t_0 + \epsilon[ \;\Rightarrow x(m) + (t-t_0) \vec v \in x(U) \cap \cal H$$

Sea $I$ el intervalo abierto $]t_0 - \epsilon , t_0 + \epsilon[$. Consideramos la curva $\widetilde{\gamma} \colon I \to x(U)$ dada por:

$$\widetilde{\gamma} (t) = x(m) + (t-t_0) \vec v \quad \forall \, t \in I$$

y su ``levantamiento'' $\gamma \colon I \to x(U)$ donde $\gamma = \colon x^{-1} \circ \widetilde \gamma$. Las particularidades del caso son que:

$\mbox{\rm im}\widetilde{\gamma}$ está en ${\cal H}$ e $\mbox{\rm im}\gamma$ está en ${\frak Bd}(M)$

Como en el caso 1 vale:

$$\widetilde{\gamma} = x(m) \quad {\rm y} \quad \widetilde{\gamma}'(t_0) = \vec v$$

De ahí deducimos exactamente como en dicho caso 1:

$$\gamma(t_0) = m \quad {\rm y}\quad \gamma'(t_0) = \vec u$$

Caso 3. $m \in {\frak Bd}(M)$ y $x_\ast (m) \vec u \notin \mbox{\rm Dir } \cal H$.

Usamos un mapa admisible $(U,x)$ de segunda especie de $M$ en el punto $m$. $x(U)$ es, pues, un abierto de $\overline{{\frak S}}^{(n)}$ que interseca el hiperplano $\cal H$. Se verifica: $x(m) \in \cal H$. Como arriba ponemos: $\vec v = \colon x_\ast (m) \vec u$ e identificamos $\vec v$ con un vector de ${\mathbb{R}}^n$. Existe $\epsilon > 0$ tal que:

Si $\vec v$ apunta hacia el semiespacio ${\frak S}^{(n)}$

$$t \in [t_0, t_0 + \epsilon[ \;\Rightarrow x(m) + (t-t_0) \vec v \in x(U)$$

y si $-\vec v$ apunta hacia el semiespacio ${\frak S}^{(n)}$

$$t \in ]t_0-\epsilon, t_0] \;\Rightarrow x(m) + (t-t_0) \vec v \in x(U)$$

Definimos el intervalo:

$$I = \colon \left\{ \begin{array}{ll} [t_0 , t_0 + \epsilon[ ... ...$ -\vec v$ apunta hacia ${\frak S}^{(n)}$} \end{array} \right.$$

y consideramos la curva $\widetilde{\gamma} \colon I \to x(U)$ dada por:

$$\widetilde{\gamma} (t)= \colon x(m) + (t-t_0) \vec v \quad \forall \, t \in I$$ (29)

$\widetilde \gamma$ es de clase $C^\infty$. A mayor abundamiento es diferenciable en el tiempo $t_0$. Vale:

$$\widetilde{\gamma}(t_0) = x(m)$$ (30)

y

$$\widetilde{\gamma}'(t_0) = \vec v$$ (31)

Como arriba, consideramos la curva $\gamma = \colon x^{-1} \circ \widetilde{\gamma} \colon I \to U$. Es de clase $C^k$. Por (30) vale:

$$\gamma(t_0) = m$$ (32)

Usando como en el caso 1 las consideraciones heurísticas antes del teorema 6.1.10 y el teorema 6.1.11 hallamos de nuevo

$$\gamma' (t_0) = \vec u$$ (33)

Las fórmulas (32) y (33) concluyen la prueba del teorema. $\quad\Box$
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