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Producto exterior de formas exteriores vectoriales

Teorema 4.3 (y definición)   Sean $E$, $F$, $G$, $H$ espacios vectoriales. $E$ se supone de dimensión finita. Sea dada una aplicación bilineal $\Phi \colon F\times G \to H$. $\forall p,q \in {{\mathbb{N}}} \cup \{0 \}$ existe una única aplicación bilineal $({\frak f},{\frak g}) \mapsto {\frak f} \wedge_\Phi {\frak g}$ de ${\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F) \times {\cal L}(\stackrel{q}{\wedge} E,G)$ en ${\cal L}(\stackrel{p+q}{\wedge} E,H)$ llamada MULTIPLICACIÓN EXTERIOR CON RESPECTO A LA APLICACIÓN BILINEAL $\Phi$, tal que para todo par de elementos simples:

$$\begin{eqnarray*} {\frak f}&=\colon & \vec{c} \otimes {\underline y} \quad, \qq... ...d \vec{d} \in G,\; {\underline z} \in \stackrel{q}{\wedge} E^* \end{eqnarray*}$$

valga:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\frak f} \wedge_\Phi {\frak g} =... ...ec{c},\vec{d}) \otimes({\underline y}\wedge{\underline z})}$}}$$ (8)

Para ${\frak f}\in {\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F),\; {\frak g}\in {\cal L}(\stackrel{q}{\wedge} E,G)$ arbitrarios se tiene, con las notaciones del teorema 2.3.2, $\forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{p+q} \in E$:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle ({\frak f} \wedge_\Phi {\frak g})... ...rline x}_{H}), {\frak g}({\overline x}_{H^\prime}) \right)}$}}$$ (9)

Demostración
Unicidad de la aplicación $\wedge_\Phi$. Supongamos que la aplicación deseada $\wedge_\Phi$ existe. Por hipótesis, el elemento ${\frak f}\wedge_\Phi {\frak g}$ de ${\cal L}(\stackrel{p+q}{\wedge} E,H)$ está dado sin ambigüedad por la fórmula (8) en el caso particular de ser ${\frak f},{\frak g}$ elementos simples de sendos espacios ${\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F)$, ${\cal L}(\stackrel{q}{\wedge} E,G)$. En el caso general de ${\frak f}\in {\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F),\; {\frak g}\in {\cal L}(\stackrel{q}{\wedge} E,G)$, podemos, en virtud del teorema 2.4.2, representar ${\frak f}$ y ${\frak g}$ como:

$$\begin{array}{c@{\,,\,}c} {\displaystyle {\frak f}=\sum_{i=1}... ...{\displaystyle {\frak g}=\sum_{j=1}^n {\frak g}_j } \end{array}$$

con ${\frak f}_i$ y ${\frak g}_j$ elementos simples de sendos espacios ${\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F),\;{\cal L}(\stackrel{q}{\wedge} E,G)$. Por bilinealidad tenemos:

$${\frak f}\wedge_\Phi {\frak g}= \sum\limits_{1\le i \le m \atop 1\le j\le n} {\frak f}_i \wedge_\Phi {\frak g}_j$$

Como los términos ${\frak f}_i \wedge_\Phi {\frak g}_j$ están determinados sin ambigüedad, se sigue de ahí que también lo está ${\frak f}\wedge_\Phi {\frak g}$.

Existencia de la aplicación $\wedge_\Phi$. Sean ${\frak f} \in {\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F)$, ${\frak g} \in {\cal L}(\stackrel{q}{\wedge} E,G)$. Definimos una aplicación: $\omega ({\frak f},{\frak g}) \colon E^{p+q} \to H$ por la fórmula:

$$\omega({\frak f},{\frak g}) (\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{p+q})=\col... ...\left( {\frak f}({\overline x}_{H}),{\frak g}({\overline x}_{H^\prime}) \right)$$ (10)

$$\forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{p+q} \in E$$

Calculemos el segundo miembro de (10) en el caso particular de ser ${{\frak f}}$ y ${{\frak g}}$ elementos simples:

$$\begin{eqnarray*} {{\frak f}} &=& \vec{c} \otimes {\underline y},\hspace{3em} \... ...m} \vec{d} \in G,\; {\underline z} \in \stackrel{q}{\wedge} E^* \end{eqnarray*}$$

En este caso, por (10):

$$\begin{eqnarray*} \omega({{\frak f}},{{\frak g}})( \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{p+q... ..._{H'},{\underline z}\bigr\rangle \right) \Phi (\vec{c},\vec{d}) \end{eqnarray*}$$

o sea, en virtud del teorema 2.3.2:

$$\omega({{\frak f}},{{\frak g}})( \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{p+q}) ... ...x}_{p+q},{\underline y}\wedge {\underline z}\bigr\rangle \Phi (\vec{c},\vec{d})$$ (11)

$$\forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{p+q} \in E$$

Esta fórmula muestra que en este caso particular:

$$\omega({{\frak f}},{{\frak g}}) \in \mbox{\rm Alt}_{p+q}(E,H).$$ (12)

En el caso general de ser ${{\frak f}} \in {\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F)$, ${{\frak g}} \in {\cal L} (\stackrel{q}{\wedge} E,G)$ arbitrarios, podemos escribir en virtud del teorema 2.4.2:

$${{\frak f}}= \sum_{i=1}^m {{\frak f}}_i ,\quad {{\frak g}}= \sum_{j=1}^n {{\frak g}}_j$$

donde ${{\frak f}}_i$, ${{\frak g}}_j$ son elementos simples. Por (10) se ve que:

$$\omega({{\frak f}},{{\frak g}})= \sum\limits_{1\le i\le m \atop 1\le j\le n} \omega({{\frak f}}_i,{{\frak g}}_j).$$

Puesto que $\forall i,j:\quad \omega({{\frak f}}_i,{{\frak g}}_j) \in \mbox{\rm Alt}_{p+q} (E,H)$, resulta de ahí que la fórmula (12) sigue cierta en el caso general.

Por la propiedad universal de la terna $(E,\stackrel{p+q}{\wedge} E,\wedge)$ existe una aplicación lineal única ${{\frak f}}\wedge_\Phi {{\frak g}} \colon \stackrel{p+q}{\wedge} E \to H$ que hace conmutativo el diagrama:

$$\begin{array}{rccl} &E^{p+q} &\smash{ \mathop{\longrightarr... ...e$}}$}&{{\frak f}}\wedge_\Phi {{\frak g}}\\ &H&& \end{array}$$

En vista de la definición (10) de $\omega({{\frak f}},{{\frak g}})$ la forma vectorial ${{\frak f}}\wedge_\Phi {{\frak g}} \in {\cal L}( \stackrel{p+q}{\wedge} E,H)$ se expresa explícitamente por la fórmula (8) del enunciado.

Finalmente, la fórmula (11) reza ahora: ${{\frak f}}\wedge_\Phi {{\frak g}} = \Phi(\vec{c},\vec{d}) ({\underline y}\wedge{\underline z})$ en caso de ser ${{\frak f}}= \vec{c} \otimes {\underline y}$ y ${{\frak g}}=\vec{d} \otimes {\underline z}$.

Con ello, la prueba de la existencia de la multiplicación exterior de $\wedge_\Phi$ está completa. $\quad\Box$

Casos particulares

Los casos particulares más simples son:

1. $F={{\mathbb{K}}},\;H=G;\; \Phi(\alpha,\vec{u})=\alpha \vec{u} \quad \forall \alpha \in {{\mathbb{K}}} \quad \forall \vec{u} \in G$.
2. $G={{\mathbb{K}}},\;H=F;\; \Phi(\vec{v},\beta)=\beta \vec{v} \quad \forall \vec{v} \in F \quad \forall \beta \in {{\mathbb{K}}}$.

En estos casos se escribe simplemente el símbolo ``$\wedge$'' en vez de $\wedge_\Phi$.

Ambos casos pueden darse simultáneamente, es decir, cuando se tenga $F=G=H={{\mathbb{K}}}$ y $\Phi$ sea la multiplicación usual en ${\mathbb{K}}$. En este caso, el teorema 2.4.2 se reduce a 2.3.2.

Teorema 4.4 (Expresión analítica del producto exterior)   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. Sean $F, G, H$ espacios vectoriales y $\Phi \colon F\times G \to H$ una aplicación bilineal. Sean ${{\frak f}} \in {\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F) \; \mbox{y} \; {{\frak g}} \in {\cal L}(\stackrel{q}{\wedge} E,G)$. Al escribir:

$$\begin{eqnarray*} {{\frak f}} &=& \sum_{\vert H\vert=p} \vec{c}_{H} \otimes {\u... ...mes {\underline e}^{K} \quad \mbox{con} \quad \vec{d}_{K} \in G \end{eqnarray*}$$

se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {{\frak f}} \wedge_\Phi ... ...{K}) \otimes ({\underline e}^{H} \wedge {\underline e}^{K})}}$}$$

con ${\underline e}^{H} \wedge {\underline e}^{K} = \rho_{H,K} {\underline e}^{H\cup K}$

Este resultado es una consecuencia inmediata de la fórmula (8) del teorema 2.4.3 y de la bilinealidad de la multiplicación exterior de $\wedge_\Phi$.

Producto interno de un vector por una forma exterior

Definición 4.3   Sean $E, F$ espacios vectoriales, $E$ de dimensión finita. Sean ${{\frak f}}\in {\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F) \;\mbox{y} \; \vec{x} \in E$. La aplicación ${\overline z} \mapsto {{\frak f}}(\vec{x}\wedge{\overline z})$ de $\stackrel{p-1}{\wedge} E$ en $F$ es una aplicación lineal, elemento de ${\cal L}(\stackrel{p-1}{\wedge} E,F)$, o sea, una forma exterior sobre $E$ de grado $p-1$, de valores en $F$. Se le designa por $i(\vec{x}){{\frak f}}$. Así pues, por definición:

$$\fbox{${\displaystyle \left( i(\vec{x}){{\frak f}} \right) ({... ... \qquad \forall \;{\overline z} \in \stackrel{p-1}{\wedge} E}$}$$

La forma exterior $i(\vec{x}){{\frak f}}$ se llama el PRODUCTO INTERIOR DEL VECTOR POR LA FORMA EXTERIOR ${{\frak f}}$.

Teorema 4.5   $\forall \vec{x} \in E$ y $\forall p \in {{\mathbb{Z}}}$ $i(\vec{x})$ es una aplicación lineal de ${\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F)$ en ${\cal L}(\stackrel{p-1}{\wedge} E,F)$.

Demostración
$\forall {{\frak f}}_1,\;{{\frak f}}_2 \in {\cal L} (\stackrel{p}{\wedge} E,F) ,... ...lpha_2 \in {{\mathbb{K}}},\;\forall\;{\overline z} \in \stackrel{p-1}{\wedge} E$ vale:

$$\begin{eqnarray*} \left( i(\vec{x})(\alpha_1 {{\frak f}}_1 + \alpha_2 {{\frak f... ...}}_1)+ \alpha_2(i(\vec{x}){{\frak f}}_2) \right) ({\overline z}) \end{eqnarray*}$$

luego:

$$\left( i(\vec{x})(\alpha_1 {{\frak f}}_1 + \alpha_2 {{\frak f... ...ec{x}){{\frak f}}_1)+ \alpha_2(i(\vec{x}){{\frak f}}_2) \right)$$

$\quad\Box$

Casos particulares.

A. Puesto que $\stackrel{p}{\wedge} E = \{ 0 \}$ si $p<0$ entonces $i(\vec{x})$ vale cero sobre el espacio ${\cal L}( \stackrel{0}{\wedge} E, F) ={\cal L}({{\mathbb{K}}},F) =F$

B. Sea ${\frak f}$ una forma exterior de grado 1: ${{\frak f}} \in {\cal L}(E,F)$. Al considerar $i(\vec{x}){{\frak f}}$ como elemento de ${\cal L}({{\mathbb{K}}},F)$ tenemos $\forall \alpha \in {{\mathbb{K}}}$: $(i(\vec{x}){{\frak f}})(\alpha) ={{\frak f}} (\alpha \vec{x}) =\alpha {{\frak f}}(\vec{x})$, o sea, al identificar según el teorema 2.4.1, la aplicación $\alpha \mapsto \alpha {{\frak f}}(\vec{x})$ con el elemento ${{\frak f}}(\vec{x})$ de $F$:

$$\fbox{${\displaystyle i(\vec{x}){{\frak f}} = {{\frak f}} (\vec{x})}$}$$

C. En el caso particular $F={{\mathbb{K}}}$, $\forall p \in {{\mathbb{Z}}} \; i(\vec{x})$ es una aplicación lineal de $\stackrel{p}{\wedge} E^*$ en $\stackrel{p-1}{\wedge} E^*$. La fórmula de definición reza: $\forall \, {\underline y} \in \stackrel{p}{\wedge} E^*,\; \forall \;{\overline z} \in \stackrel{p-1}{\wedge} E$

$$\fbox{${\displaystyle \bigl\langle {\overline z},i(\vec{x}){\... ...ngle \vec{x} \wedge{\overline z},{\underline y}\bigr\rangle }$}$$

$i(\vec{x})$ vale cero sobre $\stackrel{0}{\wedge} E^* ={{\mathbb{K}}}$. La fórmula de B) reza:

$$\fbox{${\displaystyle i(\vec{x})\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Ya que, si $\mbox{\rm dim }E=n$, vale:

$$\wedge E^* = \bigoplus\limits_{k=0}^n (\stackrel{k}{\wedge} E^*)$$

$i(\vec{x})$ se amplía de manera natural a un endomorfismo lineal del álgebra dual $\wedge E^*$. Si es útil, designaremos con más precisión por $i_p (\vec{x})$ la restricción de $i(\vec{x})$ al espacio vectorial $\stackrel{p}{\wedge} E^*$.

Más generalmente, $i_p (\vec{x})$ designará el operador $i(\vec x)$ aplicado al espacio vectorial ${\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F)$ (debemos resignarnos a omitir en la notación una referencia explícita al espacio $F$).

Teorema 4.6   $\forall \vec{x}_1,\;\vec{x}_2 \in E$ $\forall \alpha_1,\;\alpha_2 \in{{\mathbb{K}}}$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle i(\alpha_1 \vec{x}_1 + \alpha_2 \vec{x}_2) = \alpha_1 i(\vec{x}_1) + \alpha_2 i(\vec{x}_2)}$}$$

Demostración
Consideremos todos los $i(\vec{x})$ como operandos sobre ${\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F)$. Obtenemos $\forall \; {{\frak f}} \in {\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F)$ y $\forall \;{\overline z} \in \stackrel{p-1}{\wedge} E$:

$$\begin{eqnarray*} ( i(\alpha_1 \vec{x}_1 + \alpha_2 \vec{x}_2) {{\frak f}} ) ({... ... {{\frak f}}+ \alpha_2 i(\vec{x}_2) {{\frak f}}) ({\overline z}) \end{eqnarray*}$$

de donde la conclusión. $\quad\Box$

Teorema 4.7   Vale:

$$\fbox{${\displaystyle i(\vec{x}) \circ i(\vec{x})=0}$}$$

Es decir, $i_{p-1} (\vec{x}) \circ i_{p} (\vec{x}) =0 \quad \forall p \in {{\mathbb{Z}}}$.

Demostración
Tenemos $\forall \; {{\frak f}} \in {\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F)$ y $\forall \; {\overline z} \in \stackrel{p-2}{\wedge} E$:

$$\left( \left( i_{p-1} (\vec{x}) \circ i_p(\vec{x}) \right) {{... ...= {{\frak f}} (\vec{x} \wedge \vec{x} \wedge {\overline z}) =0$$

pues $\vec{x} \wedge \vec{x} \wedge {\overline z} =0$. $\quad\Box$

Teorema 4.8   Sean $E$, $F$, $G$, $H$ espacios vectoriales, $E$ de dimensión finita. Sea $\Phi$ una aplicación bilineal $F\times G \to H$. Para todas aplicaciones ${{\frak f}} \in {\cal L}(\stackrel{p}{\wedge} E,F)$, ${{\frak g}} \in {\cal L} (\stackrel{q}{\wedge} E,G)$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle i(\vec{x}) ({{\frak f}} \wedge_\Phi {{\... ...\frak g}} + (-1)^p {{\frak f}} \wedge i(\vec{x}) {{\frak g}}}$}$$

Demostración
Basta probar que los dos miembros de la fórmula por demostrar coinciden sobre todo $(p+q-1)$-vector descomponible $\vec{x}_1\wedge\cdots\wedge\vec{x}_{p+q-1}$ sobre $E$. Ahora bien:

$$\left( i(\vec{x})({{\frak f}} \wedge_\Phi {{\frak g}}) \rig... ...(\vec{x} \wedge \vec{x}_1 \wedge\cdots \wedge \vec{x}_{p+q-1})$$ (13)

Desarrollamos el segundo miembro de (13) por la fórmula (9) del teorema 2.4.3, poniendo $\vec{x} = \vec{x}_0$ y reemplazando la numeración $1,\ldots,p+q$ por la numeración $0,1,\ldots,p+q-1$. A continuación las `` primas'' designarán siempre complementos con respecto a $\lbrack\!\lbrack 1,p+q-1 \rbrack\!\rbrack$. Obtenemos:

$$\left( i(\vec{x})({{\frak f}} \wedge_\Phi {{\frak g}}) \right) (\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_{p+q-1})=\hspace{1in}$$

$$=\sum_{H \subset \lbrack\!\lbrack 1,p+q-1 \rbrack\!\rbrack \atop ... ...} (\vec{x}_0 \wedge {\overline x}_{H}), {{\frak g}}({\overline x}_{H'}) \right)$$

$$+ \sum_{K \subset \lbrack\!\lbrack 1,p+q-1 \rbrack\!\rbrack \atop... ...} ({\overline x}_{K}), {{\frak g}}( \vec{x}_0\wedge {\overline x}_{K'}) \right)$$ (14)

Claramente vale $\rho_{ \{ 0 \} \cup H, H'} = \rho_{H,H'}$, pues 0 no forma ninguna inversión con elementos de $H'$. También $\rho_{ K, \{ 0 \} \cup K'} = (-1)^p \rho_{K,K'}$, pues 0 forma $p$ inversiones con los $p$ elementos de $K$. Así pues, (14) se convierte en:

$$\left( i(\vec{x})({{\frak f}} \wedge_\Phi {{\frak g}}) \right) (\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_{p+q-1})=\hspace{1in}$$

$$\hspace{4em}\sum_{H \subset \lbrack\!\lbrack 1,p+q-1 \rbrack\!\rb... ...ec{x}){{\frak f}}) ({\overline x}_{H}), {{\frak g}}({\overline x}_{H'}) \right)$$

$$+ (-1)^p \sum_{K \subset \lbrack\!\lbrack 1,p+q-1 \rbrack\!\rbrac... ...f}} ({\overline x}_{K}), (i(\vec{x}) {{\frak g}}) ( {\overline x}_{K'}) \right)$$ (15)

Finalmente transformando las dos sumas a la derecha de (15) por la fórmula (9) del teorema 2.4.3, conseguimos:

$$\left( i(\vec{x})({{\frak f}} \wedge_\Phi {{\frak g}}) \right) (\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_{p+q-1}) \hspace{2in}$$

$$\begin{array}[b]{cr} =& \left( \left(i(\vec{x}) {{\frak f}}\right... ...g}}\right) \right) (\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_{p+q-1}) \end{array}$$ (16)

$\quad\Box$

Teorema 4.9   Para vale:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle i(\vec{x})(\mathop{\vtop... ...interlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits )}}$}$$

(Según una notación hoy día muy corriente, el acento circunflejo sobre un factor indica que éste debe omitirse del producto).

Demostración
Haremos la demostración por inducción sobre el número $r$ de factores. Para $r=1$ la fórmula se reduce a:

$$i(\vec{x}) \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Esta fórmula fue señalada como ``caso particular'' después del teorema 2.4.5.

Supongamos ahora $r \ge 2$ y la fórmula ya probada para $r-1$. Escribiendo como producto exterior de una forma de grado 1 por una forma de grado $r-1$ y aplicando la fórmula del teorema 2.4.8, obtenemos:

$$\begin{array}{lcr} i(\vec{x})(\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Por el caso $r=1$ y la hipótesis de inducción esto se convierte en:

$$\begin{array}{lcl} i(\vec{x})(\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

$\quad\Box$
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