Morfismos entre variedades

Sea $\mathbb{K}$ un campo y $V$ una variedad, dotada de la topología de Zariski. Una función $f:V\to\mathbb{K}$ es regular en un punto ${\bf x}\in V$ si existe una vecindad abierta $U\subset V$ de ${\bf x}$ y polinomios $P({\bf X}),Q({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]$ tales que $f\vert _U=\frac{P}{Q}$ (si la variedad es proyectiva, los polinomios $P({\bf X}),Q({\bf X})$ han de ser homogéneos). La función $f$ es regular si lo es en todo punto de la variedad.

Sean $V$ , $W$ dos variedades. Un morfismo es una función contínua $\phi:V\to W$ tal que para cualquier función regular $f:W\to\mathbb{K}$ y cualquier abierto $U\subset W$ , se tiene que $f\circ\phi:\phi^{-1}(U)\to\mathbb{K}$ es regular.

Dos variedades $V$ , $W$ son isomorfas si existen dos morfismos $\phi:V\to W$ y $\psi:W\to V$ tales que $\psi\circ\phi =$   id$_V$ y $\phi\circ\psi =$   id$_W$ .

La colección de variedades con morfismos conforma la categoría de variedades.

Sea $\mathbb{K}[V]$ el anillo de coordenadas de la variedad $V$ y sea $\mathbb{K}(V)$ su campo de fracciones. Para un punto ${\bf x}\in V$ sea ${\cal O}_{V,{\bf x}}$ el anillo de funciones en $\mathbb{K}(V)$ que están definidas en ${\bf x}$ , llamado anillo local en ${\bf x}$ . Para un abierto $U\subset V$ , sea ${\cal O}_{V}(U)$ el anillo de funciones en $\mathbb{K}(V)$ que son regulares en $U$ .

Si $\phi:V\to W$ es un morfismo entonces para cada abierto $U\subset W$ se tiene $\phi^*:{\cal O}_{W}(U)\to {\cal O}_{V}(\phi^{-1}(U))$ , $f\mapsto f\circ\phi$ , y también para cada ${\bf x}\in V$ , $\phi^*_{{\bf x}}:{\cal O}_{W,\phi({\bf x})}\to {\cal O}_{V,{\bf x}}$ .

Proposición 2.13   Las siguientes asevraciones son verdaderas:

• Las funciones regulares en toda una variedad son las constantes.
• El campo de funciones de una variedad proyectiva consta de los cocientes de polinomios homogéneos de un mismo grado.
• La colección de morfismos $V\to W$ se puede poner en correspondencia biunívoca con la colección de homomorfismos $\mathbb{K}(W)\to{\cal O}_{V}(V)$ .
• Hom$(V,W)\cong$Hom$(\mathbb{K}[W],\mathbb{K}[V])$ .