Curva hermitiana.

Supongamos que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_{q^2}$ donde $q=p^m$ es una potencia de un primo. Sea $Q(X_0,X_1,X_2) = X_1^qX_2 + X_1X_2^q - X_0^{q+1}$ , entonces, como la característica del campo divide a $q$ , se tiene $\partial_{X_0}Q(x_0,x_1,x_2) = x_0^q$ , $\partial_{X_1}Q(x_0,x_1,x_2) = x_2^q$ y $\partial_{X_2}Q(x_0,x_1,x_2) = x_1^q$ . En consecuencia la curva proyectiva $Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ es suave.

En lo que sigue, curva se referirá siempre a curva proyectiva suave.

Sea $Q(X_0,X_1,X_2)\in\mathbb{K}[X_0,X_1,X_2]$ un polinomio irreducible y sea Q$=Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ la curva que define. Sea $I=(Q(X_0,X_1,X_2))$ el ideal generado por $Q(X_0,X_1,X_2)$ en el anillo $\mathbb{K}[X_0,X_1,X_2]$ , entonces $I$ es primo y el cociente $\mathbb{K}[X_0,X_1,X_2]/I$ es un dominio entero. Si $R(X_0,X_1,X_2)\in\mathbb{K}[X_0,X_1,X_2]$ es un polinomio homogéneo de grado $d$ , se dice que el elemento $R(X_0,X_1,X_2)+I\in\mathbb{K}[X_0,X_1,X_2]/I$ es una forma de grado $d$ . La colección de formas racionales sobre la curva Q es

$$\mathbb{K}($$Q$$) = \left\{\frac{g}{h}\vert g,h\in\mathbb{K}[X_0,X_1,X_2]/I \mbox{ son formas del mismo grado y }h\not=0\right\}.$$

Una forma racional $f\in\mathbb{K}($Q$)$ está definida en un punto ${\bf a}\in$Q de la curva si existen dos polinomios $A(X_0,X_1,X_2),B(X_0,X_1,X_2)\in\mathbb{K}[X_0,X_1,X_2]$ tales que $B({\bf a})\not=0$ y $f({\bf a}) = \frac{A({\bf a})}{B({\bf a})}$ . Sea $O_{{\bf a}}$ el anillo de funciones racionales definidas en ${\bf a}$ . Se tiene que $O_{{\bf a}}$ es un dominio entero y, de hecho, su campo de fracciones es precisamente $\mathbb{K}($Q$)$ . Sea $M_{{\bf a}} = \{f\in O_{{\bf a}}\vert f({\bf a}) = 0\}$ . Entonces $M_{{\bf a}}$ es un ideal principal. Cualquier generador de él se dice ser un parámetro local en ${\bf a}$ .

Proposición 2.14   Supóngase que ${\bf a}=[a_0,a_1,a_2]\in$Q , con $a_2\not=0$ , es un punto de la curva determinada como Q$=Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ . Si $t = \frac{A(X_0,X_1,X_2)}{B(X_0,X_1,X_2)}\in M_{{\bf a}}$ donde gr$(A(X_0,X_1,X_2)) =$   gr$(B(X_0,X_1,X_2)) = 1$ , $B({\bf a})\not=0$ y $A(X_0,X_1,X_2)$ no es un múltiplo de $\partial_{X_0}Q({\bf a}) X_0 + \partial_{X_1}Q({\bf a}) X_1 + \partial_{X_2}Q({\bf a}) X_2$ , entonces $t$ es un parámetro local en ${\bf a}$ .

Sea ${\bf a}\in$Q y $t\in M_{{\bf a}}$ un parámetro local en ${\bf a}$ . Sea $f\in\mathbb{K}($Q$)$ una función racional tal que $f\not = 0$ . Entonces existen $m\in\mathbb{Z}$ y $u\in O_{{\bf a}}- M_{{\bf a}}$ tales que $f=t^mu$ . El entero $m$ se dice ser la valuación de $f$ en ${\bf a}$ y se escribe $v_{{\bf a}}(f)=m$ . Se tiene que $O_{{\bf a}}$ consiste de las funciones racionales con valuación no-negativa y $M_{{\bf a}}$ de las racionales con valuación positiva.

Proposición 2.15   Para todo punto ${\bf a}\in$Q , la valuación $v_{{\bf a}}$ satisface las condiciones siguientes:

1. $\forall f,g\in\mathbb{K}($Q$): v_{{\bf a}}(fg) = v_{{\bf a}}(f) + v_{{\bf a}}(g).$ En consecuencia, $\forall r\in\mathbb{Z}: v_{{\bf a}}(f^r) = r v_{{\bf a}}(f)$ .
2. $\forall f,g\in\mathbb{K}($Q$): v_{{\bf a}}(f+g) \geq \min\{ v_{{\bf a}}(f) , v_{{\bf a}}(g)\}.$ La igualdad vale toda vez que $v_{{\bf a}}(f) \not= v_{{\bf a}}(g)$ .
3. $\forall b\in\mathbb{K}: v_{{\bf a}}(b) = 0.$

Si $v_{{\bf a}}(f)>0$ entonces ${\bf a}$ es un cero de multiplicidad $v_{{\bf a}}(f)$ de $f$ . Si $v_{{\bf a}}(f)<0$ entonces ${\bf a}$ es un polo de multiplicidad $-v_{{\bf a}}(f)$ de $f$ .

Teorema 2.4   Cualquier función racional tiene el mismo número de ceros que de polos (contados con multiplicidades).