Teorema de Riemann-Roch

Sean $\mathbb{K}$ un campo y Q una curva. Sea ${\bf D} = \mathbb{Z}^{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ dotado de su estructura de grupo libre abeliano sobre Q , con la suma aplicada componente-a-componente. A los elementos de ${\bf D}$ se les llama divisores, y si ${\bf d} = \left(d_{\bf a}\right)_{{\bf a}\in\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ es un divisor, se le escribe también como ${\bf d} = \sum_{{\bf a}\in\mbox{\scriptsize\rm Q}}d_{\bf a} {\bf e}_{\bf a}$ , donde ${\bf e}_{\bf a} = \left(\delta_{{\bf a}{\bf b}}\right)_{{\bf b}\in\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ y $\delta_{{\bf a}{\bf b}}$ es la delta de Kroenecker. El soporte de un divisor ${\bf d}$ es Spt$({\bf d}) = \{{\bf a}\in$Q$\vert d_{\bf a}\not=0\}$ , y su grado es gr$({\bf d}) = \sum_{{\bf a}\in\mbox{\scriptsize\rm Q}}d_{\bf a}$ . El grupo de divisores ${\bf D}$ queda ordenado con el orden producto de $\mathbb{Z}$ .

Un $\mathbb{K}$ -divisor es un divisor ${\bf d} = \sum_{{\bf a}\in\mbox{\scriptsize\rm Q}}d_{\bf a} {\bf e}_{\bf a}$ tal que $\forall{\bf a}\in$Q , $\forall\phi\in$Aut$(\overline{\mathbb{K}}\vert\mathbb{K})$ : $d_{\phi({\bf a})} = d_{\bf a}$ . Así si Spt$({\bf d})\subset\mathbb{K}$ , entonces ${\bf d}$ es un $\mathbb{K}$ -divisor. Sea ${\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ la colección de todos los $\mathbb{K}$ -divisores. Se tiene, naturalmente, que ${\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ es un subgrupo de ${\bf D}$ . En lo que sigue, nos circunscribiremos sólo a ${\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ .

Para una función racional $f\in\mathbb{K}($Q$)$ se define su divisor como ${\bf d}_f = \sum_{{\bf a}\in\mbox{\scriptsize\rm Q}}v_{{\bf a}}(f) {\bf e}_{\bf a}$ . Naturalmente, ${\bf d}_f = {\bf d}_f^+ - {\bf d}_f^-$ , donde

$${\bf d}_f^+ = \sum_{v_{{\bf a}}(f)>0}v_{{\bf a}}(f) {\bf e}_{\bf a} {\bf d}_f^- = \sum_{v_{{\bf a}}(f)<0}(-v_{{\bf a}}(f)) {\bf e}_{\bf a}$$ (16)

y son llamados, respectivamente, divisores de ceros y de polos de $f$ .

Un divisor ${\bf d}\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ se dice ser principal si existe $f\in\mathbb{K}($Q$)$ tal que ${\bf d} = {\bf d}_f$ . Dos divisores ${\bf d}_0,{\bf d}_1\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ son linealmente equivalentes si su diferencia ${\bf d}_0-{\bf d}_1$ es un divisor principal.

Para un divisor ${\bf d}\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ sea

$$L({\bf d}) = \{f\in\mathbb{K}( )\vert \forall{\bf a}\in : v_{{\bf a}}(f)+d_{\bf a}\geq 0\}\cup\{0\}.$$ (17)

Entonces $L({\bf d})$ es un espacio vectorial, llamado asociado al divisor ${\bf d}$ . Sea $\ell({\bf d}) = \dim L({\bf d})$ .

Lema 5.1   Sea ${\bf d}\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ un divisor. Se cumplen las condiciones siguientes:

1. Si ${\bf d}'\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ es linealmente equivalente a ${\bf d}$ , entonces $L({\bf d}')$ es isomorfo a $L({\bf d})$ .
2. Si gr$({\bf d})<0$ entonces $L({\bf d}) = \{0\}$ .
3. $L({\bf0}) = \mathbb{K}$ .

Para la curva Q$=Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ , su género se define como $g=\frac{1}{2}(d-1)(d-2)$ donde $d$ es el grado del polinomio $Q(X_0,X_1,X_2)$ . Un divisor ${\bf w}\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ se dice ser canónico si gr$({\bf w}) = 2(g-1)$ y $\ell({\bf w}) = g$ .

Teorema 5.1 (Riemann-Roch)   Para cualquier divisor ${\bf d}\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ :

$$\ell({\bf d}) =$$   gr$$({\bf d}) + 1 - g + \ell({\bf w}-{\bf d}),$$

donde ${\bf w}$ es un divisor canónico.

Corolario 5.1   $\forall{\bf d}\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}: \left[ \mbox{\rm gr}({\bf... ... 2g-1 \Longrightarrow \ell({\bf d}) = \mbox{\rm gr}({\bf d}) + 1 - g \right].$