Códigos de Goppa

Consideremos $\mathbb{K}=\mathbb{F}_q$ , donde $q=p^m$ es una potencia de un primo. Utilizaremos la notación introducida en las secciones previas. Sea Q una curva y sea $A_n =\{{\bf a}_0,\ldots,{\bf a}_{n-1}\}\subset$Q un conjunto de $n$ puntos $\mathbb{F}_q$ -racionales. Sea ${\bf d}_{A_n}=\left(d_{\bf a}\right)_{{\bf a}\in\mbox{\scriptsize\rm Q}}\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ un divisor tal que $\forall j\leq n-1$ , $d_{{\bf a}_j}=0$ , es decir $A_n\cap$Spt$({\bf d}_{A_n})=\emptyset$ . Sea $e_{A_n}:L({\bf d}_{A_n})\to\mathbb{F}_q^n$ , $f\mapsto e_{A_n}(f) = \left(f({\bf a}_j)\right)_{j=0}^{n-1}$ , la cual es, evidentemente, una transformación lineal. Sea ${\bf e}_{A_n}$ el divisor definido como ${\bf e}_{A_n} = \sum_{j=0}^{n-1}{\bf e}_{{\bf a}_j}$ . Se define el código de Goppa asociado a los divisores ${\bf e}_{A_n},{\bf d}_{A_n}$ como $C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}} = e_{A_n}(L({\bf d}_{A_n})) < \mathbb{F}_q^n$ .

Lema 5.3   Sea $k=\dim C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}}$ y $d$ la distancia mínima de $C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}}$ . Entonces:

• $k = \ell({\bf d}_{A_n}) - \ell({\bf d}_{A_n} - {\bf e}_{A_n})$ , y
• $d \geq n -$   gr$({\bf d}_{A_n})$ .

Proposición 5.2   Sea $g$ el género de la curva Q$=Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ .

1. Si gr$({\bf d}_{A_n}) < n$ entonces $k =\ell({\bf d}_{A_n})$ . Por tanto, $k\geq$   gr$({\bf d}_{A_n}) + 1 - g$ y en consecuencia $d+k \geq n+1-g$ . Se tendrá que una matriz generatriz del código $C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}}$ es de la forma $M=\left(f_i({\bf a_j})\right)_{0\leq i\leq k}^{0\leq j\leq n-1}$ donde $\{f_0,\ldots,f_{k-1}\}$ es una $\mathbb{F}_q$ -base del espacio $L({\bf d}_{A_n})$ .
2. Si $2g-2 <$   gr$({\bf d}_{A_n}) < n$ entonces $k =$   gr$({\bf d}_{A_n}) + 1 - g$ .

Por la cota de Singleton, se tendrá que si gr$({\bf d}_{A_n}) < n$ , entonces $n+1-g \leq d+k \leq n+1$ .

Proposición 5.3   Existe un divisor canónico ${\bf w}$ tal que $C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}}^{\perp} = C_{{\bf e}_{A_n},{\bf e}_{A_n}-{\bf d}_{A_n}+{\bf w}}$ .