Diferenciales de Kähler

Sea $R$ un anillo.

Observación 6.1   Sean $A$ , $B$ dos $R$ -álgebras tales que existe un homomorfismo $\rho:A\to B$ . Sean $\alpha:R\to A$ y $\beta:R\to B$ los correspondientes homomorfismos de anillos. Entonces $\beta =\rho\circ\alpha$ :

$$\xymatrix{ R \ar[r]^{\alpha} \ar[rd]_{\beta} & A\ar[d]^{\rho} \ & B }$$ (18)

Sea $A$ una $R$ -álgebra y $M$ un $A$ -módulo. Si $\alpha$ es el homomorfismo de anillos $R\to A$ , se puede suponer a $A$ con un elemento unidad $1$ e identificar a $R$ con el conjunto $R 1 = \alpha(R)\subset A$ . Una $R$ -derivación del álgebra $A$ en el módulo $M$ es una función $d:A\to M$ con las propiedades siguientes:

1. Aditividad: $\forall a_0,a_1\in A: d(a_0 + a_1) = d(a_0) + d(a_1)$ .
2. Regla de Leibnitz: $\forall a_0,a_1\in A: d(a_0 a_1) = a_0 d(a_1) + a_1 d(a_0)$ .
3. Nulidad ``en constantes'': $\forall r\in R: d(r) = 0$ .

Sea Der$_R(A,M)$ la colección de $R$ -derivaciones del $R$ -álgebra $A$ en el $A$ -módulo $M$ .

Un $A$ -módulo $\Omega^1_{A\vert R}$ , junto con una derivación $d:A\to\Omega^1_{A\vert R}$ , es de formas diferenciales relativas de $A$ sobre $R$ si satisface la siguiente Propiedad Universal del Módulo de Formas Diferenciales Relativas:

Para cualquier $A$ -módulo $M$ , si $d':A\to M$ es una derivación entonces existe un único homomorfismo de $A$ -módulos $\phi:\Omega^1_{A\vert R}\to M$ tal que $d' = \phi\circ d$ , es decir, que hace conmutativo el diagrama

$$\xymatrix{ A \ar[r]^{d} \ar[rd]_{d'} & \Omega^1_{A\vert R}\ar@{.{>}}[d]^{\phi} \ & M }$$ (19)

Un tal módulo $\Omega^1_{A\vert R}$ se obtiene al reducir el $A$ -módulo libre generado por el conjunto de símbolos $\{da\vert a\in A\}$ mediante las relaciones 1., 2. y 3. arriba, junto con la derivación $d:a\mapsto da$ . Otra manera de realizar $\Omega^1_{A\vert R}$ es la siguiente: sea $f:A\otimes_RA\to A$ , $a_0\otimes a_1\mapsto a_0a_1$ , y sea $I=$ker$(f)$ . Entonces $(I/I^2)$ con la derivación $d:a\mapsto 1\otimes a + a\otimes 1$ es $\Omega^1_{A\vert R}$ .

Para cada $a\in A$ sea $da\in\Omega^1_{A\vert R}$ su imagen bajo la derivación $d$ . Entonces, como un $A$ -módulo, $\Omega^1_{A\vert R}$ está generado por la imagen $dA$ de $A$ bajo $d$ .

Se tiene, por ejemplo, que $\Omega^1_{R[X_0,\ldots,X_{m-1}]\vert R}$ es el $R$ -módulo de rango $m$ generado por $dX_0,\ldots,dX_{m-1}$ .

Como un replanteamiento de la Propiedad Universal (19) se tiene:

Proposición 6.1   Para cada $A$ -módulo $M$ , Hom$_A(\Omega^1_{A\vert R},M)$ es isomorfo a Der$_R(A,M)$ , mediante el isomorfismo $\phi\mapsto \phi\circ d$ .

También se tiene:

Proposición 6.2   Sean $A$ , $B$ dos $R$ -álgebras tales que existe un homomorfismo $\rho:A\to B$ . Entonces:

• La transformación $\beta_{\rho}:\Omega^1_{B\vert R}\to\Omega^1_{B\vert A}$ que hace conmutativo el diagrama
  $$\xymatrix{ A \ar[r]^{\rho} \ar[d]_{d_A} & B \ar[d]^{d_B} \\ \Omega^1_{A\vert R} \ar[r]_{\beta_{\rho}} & \Omega^1_{B\vert A} }$$
  es un isomorfismo.
• La transformación $\alpha_{\rho}:\Omega^1_{A\vert R}\otimes_A B\to\Omega^1_{B\vert R}$ , $(da\otimes b)\mapsto b d\rho(a)$ , es un isomorfismo.
• Sea $f:A\otimes_RA\to A$ , $a_0\otimes a_1\mapsto a_0a_1$ e $I=$ker$(f)$ . Sea $B=A/I$ y $\rho$ la proyección canónica. Resulta la sucesión exacta:
  $$I/I^2\stackrel{\delta}{\longrightarrow} \Omega^1_{A\vert R}\otime... ...\stackrel{\alpha_{\rho}}{\longrightarrow} \Omega^1_{B\vert R}\longrightarrow 0,$$
  donde $\delta:[b]\mapsto db\otimes 1_B$ .

Se sigue, por ejemplo:

Proposición 6.3   Sean $A_0$ , $A_1$ dos $R$ -álgebras y sea $A_2 =A_0\otimes_R A_1$ . Entonces $\Omega_{A_2\vert A_0}\approx\Omega_{A_1\vert R}\otimes_{A_1} A_2$ .

Del tercer punto de la proposición 6.2 se sigue también:

Proposición 6.4   Sea $\mathbb{K}$ un campo y $A$ un álgebra finitamente generada sobre $\mathbb{K}$ . Sea $x\in$Spec$(A)$ un punto racional correspondiente a un ideal maximal $I_x$ de $A$ . Entonces el homomorfismo canónico

$$I_x/I_x^2\stackrel{\delta_x}{\longrightarrow} \Omega^1_{A\vert\mathbb{K}}\otimes_A \mathbb{K}(x)$$

del tercer punto de la proposición 6.2 es un isomorfismo. Aquí, $\mathbb{K}(x) =\mathbb{K}/I_x$ es el campo de residuos de $\mathbb{K}$ módulo $I_x$ .