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Formulación

En la primera mitad del siglo XIX Catalan conjeturó que las únicas potencias sucesivas en los naturales son 8 y 9. En otras palabras:

$$\forall x,n,y,m:\;x^n-y^m=1\Leftrightarrow x=3\land n=2\land y=2\land m=3.$$

Sea $N_2=\{x\in I\!\!N\vert n\geq 2\}.$ Hasta ahora la conjetura de Catalan ha permanecido abierta. Sin embargo ha habido ``algunos avances''.

Proposición 4.3 (Tijdeman, 1970)   Si $(x,n,y,m)\in N_2^4$ es una solución de la ecuación de Catalan entonces existe una constante C efectivamente computable, tal que $\mathop{\rm Max}(x,n,y,m)\leq C.$

El problema entonces es estimar la constante C.

Proposición 4.4 (Langevin, 1976)   La constante C satisface la desigualdad $C\leq\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)\right)\right).$

Ya que $\mbox{\rm exp}\left(x\right)=10^{\log(e^x)}=10^{x\cdot \log(e)}$ y $\log(e)= 0.4342944819033\ldots$ se tiene que

$\mbox{\rm exp}\left(730\right)$	se escribe (en decimal) con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
$\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)$	tiene una longitud (en decimal) que se escribe con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
$\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)\right)$	tiene una longitud (en decimal) cuya longitud se escribe con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,
$\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(\mbox{\rm exp}\left(730\right)\right)\right)\right)$	tiene una longitud (en decimal) cuya longitud tiene una longitud cuya longitud se escribe con casi $\frac{730}{2}$ dígitos,

El número de átomos en el Universo es ``apenas'' del orden de 10<sup>100</sup>. Luego, si contamos un ``Universo'' por cada átomo del Universo tendremos 10²⁰⁰ átomos. A esta cantidad habría que multiplicarla por 10⁶⁵ para obtener sólo la primera cantidad de la lista anterior.

Proposición 4.5 (Baker, 1982)   Para soluciones x,n,y,m de la ecuación de Catalan, con los cuatro números mayores o iguales que 3, se ha de tener necesariamente que

$$\mathop{\rm Max}(x,y) \leq \mathop{\rm Min}\left\{\mbox{\rm e... ...t(\mbox{\rm exp}\left((5m)^{10}n^{10n^3}\right)\right)\right\}.$$

Fijos n y m, para buscar las posibles soluciones (x,y) utilizando una CRAY se necesitaría una cantidad de tiempo comparada con la cual toda la edad del Universo equivaldría a un mero parpadeo. Sin embargo, ¡¡todo lo involucrado es computable!!
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