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Transporte paralelo

Sea $\Gamma$ una curva en una $C^k$-variedad $M$ y sea $\gamma:\mathbb{R}\to M$ una parametrización de $\Gamma$. Sea $\phi=(x_0,\ldots,x_{n-1})$ un sistema de coordenadas en un mapa en $M$ que contenga a la curva $\Gamma$. Entonces $\tilde{\gamma}=\phi\circ\gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ es una curva en $\mathbb{R}^n$. Sea $T:M\to\mathbb{R}$ una función diferenciable. Esta función puede identificarse con $\tilde{T}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, tal que $T = \tilde{T}\circ\phi$.

$T$ es de transporte paralelo a $\Gamma$ si sus curvas de nivel son paralelas a $\Gamma$. Es decir, si ocurre que $\partial_{\Gamma}T=0$. Así pues, se ha de tener $\forall t\in\mathbb{R}$:

$$0 = \partial_{\Gamma}T\,(\gamma(t)) = \sum_{j=0}^{n-1}\partial_j\tilde{T}(\tilde{\gamma}(t))\ \frac{d\gamma_j}{dt}(t)$$

donde $\tilde{\gamma}=(\gamma_0,\ldots,\gamma_{n-1})$. La derivada covariante se define como el operador:

$$D_{\Gamma} = \sum_{j=0}^{n-1}D_{\Gamma}(\gamma_j)\,\nabla_j: ... ...partial_j\tilde{T}(\tilde{\gamma}(t))\ \frac{d\gamma_j}{dt}(t).$$

En particular si $T\in{\cal T}^{(k,\ell)}$ es un $(k,\ell)$-tensor, $T$ es de transporte paralelo si

$$\forall{\bf j}\in[\![0,n-1]\!]^{k},{\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^{... ...mma_{i_{\ell}})\,\nabla_{i_{\ell}}T\right)_{{\bf j};{\bf i}}.$$ (8.1)

Si ${\bf u} = \sum_{i=0}^{n-1} u_i\,\mbox{d}x_i$ es un vector, la ecuación de transporte paralelo (8.1) queda, atendiendo (7.5):

$$\begin{eqnarray*} 0 &=& \sum_{i=0}^{n-1}D_{\Gamma}(\gamma_i)\,\nabla_{i}(u) \\ ... ...0}^{n-1} u_k c_{k,ij}D_{\Gamma}(\gamma_i)\,\right]\,\mbox{d}x_j \end{eqnarray*}$$

y por tanto

$$\forall j\in[\![0,n-1]\!]:\ D_{\Gamma}(u_j)\, + \sum_{k=0}^{n-1} u_k \sum_{i=0}^{n-1}c_{k,ij}D_{\Gamma}(\gamma_i) = 0.$$ (8.2)

Ahora, supongamos que la curva $\Gamma$ sea compatible con el tensor de métrica $G=\left(g_{ij}\right)_{i,j\in[\![0,n-1]\!]}$, es decir

$$0 = D_{\Gamma}(G) = \sum_{i=0}^{n-1}D_{\Gamma}(\gamma_i)\,\nabla_iG.$$

Entonces, si ${\bf u} = \sum_{i=0}^{n-1} u_i\,\mbox{d}x_i$ y ${\bf v} = \sum_{j=0}^{n-1}v_j\,\mbox{d}x_j$ son dos vectores de transporte paralelo según $\Gamma$, se tiene

$$D_{\Gamma}({\bf u}^T\, G{\bf v}) = \left(D_{\Gamma}({\bf u})\... ...+{\bf u}^T\, G\left(D_{\Gamma}({\bf v})\right) = 0 + 0 + 0 = 0,$$

o sea, el producto escalar $({\bf u},{\bf v})\mapsto{\bf u}^T\, G{\bf v}$ (y cualquier otra noción geométrica asociada a él) es de transporte paralelo a $\Gamma$.

Supongamos ahora que ${\bf u}:\Gamma\to \bigcup_{p\in\Gamma}T_p$ es un campo de vectores que satisfagan la ecuación de transporte paralelo (8.2). Supongamos asímismo que fijo $t_0\in\mathbb{R}$ existe un campo de matrices $P_{t_0}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n\times n}$ tal que

$$\forall t\in\mathbb{R}:\ \ {\bf u}(t) = P_{t_0}(t)\,{\bf u}(t_0)$$ (8.3)

por lo que el campo $P_{t_0}$ se llama propagador de paralelismo. Observando (8.2) definamos

$$\forall j,k\in[\![0,n-1]\!]:\ a_{jk}(t) = - \sum_{i=0}^{n-1}c_{k,ij}D_{\Gamma}(\gamma_i)({\bf u}(t)).$$

Entonces (8.2) se replantea como $(D_{\Gamma}({\bf u}))(t) = A(t)\,{\bf u}(t).$ O sea

$$D_{\Gamma}(P_{t_0})(t) = A(t)\,P_{t_0}(t),$$ (8.4)

la cual se conoce como ecuación de Dyson y es similar a la de onda de Schrödinger. Equivalentemente

$$P_{t_0}(t) = \mbox{Id}_n + \int_{t_0}^tA(\tau)\,P_{t_0}(\tau)\,d\tau.$$ (8.5)

La ecuación integral (8.5) tiene solución de la forma

$$P_{t_0}(t) = B(t)\,\mbox{exp}\left(\int_{t_0}^tA(t)\,d\tau\right).$$ (8.6)

Así pues, (8.3) y (8.6) dan un vector de transporte paralelo a $\Gamma$.

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