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Marcos de referencia

Sea $E=\left({\bf e}_j\right)_{j=0}^3$ una base de $\mathbb{R}^4$. Naturalmente, $\forall{\bf x}\in\mathbb{R}^4\ \exists! x_0,x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}:\ {\bf x} = \sum_{j=0}^3x_j{\bf e}_j,$ la cuarteta ${\bf x}=(x_0,x_1,x_2,x_3)^T$ se dice ser de coordenadas del punto ${\bf x}$ respecto a la base $E$ (es evidente que cometemos un abuso de notación al denotar de igual manera al punto ${\bf x}$ y a la cuarteta ${\bf x}$).

La base $E$ es ortonormal respecto a la métrica de Minkowski $G=\left(g_{ij}\right)_{i,j\in[\![0,3]\!]}$ si $E^TGE=G$, es decir $\forall i,j\in[\![0,3]\!]$: ${\bf e}_i^TG{\bf e}_j = g_{ij}$. Por ejemplo, la base canónica es ortonormal respecto a $G$.

Dada otra base $F=\left({\bf f}_i\right)_{i=0}^3$, sea ${\bf u}=(u_0,u_1,u_2,u_3)^T$ la cuarteta de coordenadas del punto ${\bf x}$ respecto a esta nueva base. Si hubiese una transformación lineal $L$ tal que ${\bf u} = L{\bf x}$, es decir para cada $i$, $u_i=\sum_{j=0}^3\ell_{ij}x_j$, entonces

$$\sum_{j=0}^3x_j{\bf e}_j = {\bf x} \\ = \sum_{i=0}^3u_i{\bf... ...{\bf f}_i \\ = \sum_{j=0}^3x_j\sum_{i=0}^3\ell_{ij}{\bf f}_i,$$

y por tanto $\forall j\in[\![0,3]\!]:\ {\bf e}_j = \sum_{i=0}^3\ell_{ij}{\bf f}_i.$ Así, si $E$ y $F$ denotan también a las matrices cuyas columnas son los correspondientes vectores básicos, se ha de tener $E=FL$. Así pues, en concordancia con la fórmula de cambio de bases:

$$E=FL\ \Longleftrightarrow\ \left[\forall{\bf x}\in\mathbb{R}^4:\ {\bf u} = L{\bf x}\right]$$ (2.1)

Por tanto, si $L$ es una transformación de Lorentz, y $E$ es ortonormal respecto a $G$, se tiene

$$F^TGF = (EL^{-1})^TGEL^{-1} = (L^{-1})^T(E^TGE)L^{-1} = (L^{-1})^TGL^{-1} = G$$

(pues $L^{-1}$ es de Lorentz). Por tanto $F$ también ha de ser ortonormal.

Recordamos que el espacio dual $(\mathbb{R}^4)^*$ consta de todas las funcionales lineales $\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}$ y es en sí isomorfo a $\mathbb{R}^4$ mismo. Si $E=\left({\bf e}_j\right)_{j=0}^3$ es una base de $\mathbb{R}^4$ la base dual $E^*=\left({\bf e}^*_i\right)_{i=0}^3$ de $(\mathbb{R}^4)^*$ queda determinada por las relaciones

$$\forall i,j\in[\![0,3]\!]:\ \langle{\bf e}^*_i\vert{\bf e}_j\rangle = \delta_{ij},$$ (2.2)

y en consecuencia vale la implicación siguiente:

$${\bf y}^*=\sum_{i=0}^3y_i{\bf e}^*_i\in(\mathbb{R}^4)^*\ ,\ ... ...ow\ \langle{\bf y}^*\vert{\bf x}\rangle = \sum_{i=0}^3y_ix_i.$$ (2.3)

Sea $E^*$ la matriz cuyas columnas son los funcionales ${\bf e}^*_i$ de la base dual de $E$. Entonces, de acuerdo con (2.2), $E^* = (E^{-1})^T$. Por tanto, si $F=\left({\bf f}_i\right)_{i=0}^3$ es otra base y $L$ es la matriz de cambio de base según (2.1), se ha de tener

$$E^* = F^*(L^{-1})^T\ \ \&\ \ \left[\forall{\bf y}^*\in(\mathbb{R}^4)^*:\ {\bf v} = (L^{-1})^T{\bf y}\right].$$ (2.4)

donde ${\bf y}$ es la cuarteta de componentes del funcional ${\bf y}^*$ respecto a la base dual $E^*$ y ${\bf v}$ es la cuarteta de componentes de ${\bf y}^*$ respecto a $F^*$.

En resumen, si $L$ es una transformación de Lorentz en el espacio-tiempo, entonces $(L^{-1})^T$ es la correspondiente transformación de Lorentz en el espacio dual.

Por ejemplo, sea $E=\left({\bf e}_j\right)_{j=0}^3$ la base canónica de $\mathbb{R}^4$. Vista como matriz, $E$ coincide con la matriz identidad $\mbox{Id}_4$ de orden $4\times 4$. La base dual $E^*=\left({\bf e}^*_i\right)_{i=0}^3$ de $(\mathbb{R}^4)^*$ consiste de las funciones proyecciones:

$$\forall i\in[\![0,3]\!]:\ {\bf e}^*_i:{\bf z}\mapsto\langle{\bf e}^*_i\vert{\bf z}\rangle = z_i.$$

Sea $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}$ una función diferenciable. Para cada punto ${\bf x}\in\mathbb{R}^4$ la derivada $f'({\bf x}) = \left(\partial_if({\bf x})\right)_{j=0}^3$ es un punto de $\mathbb{R}^4$. De hecho $f'({\bf x}) = \sum_{j=0}^3(\partial_jf({\bf x}))\ {\bf e}_j$. La diferencial $df({\bf x})$ de $f$ en ${\bf x}$ es la transformación lineal cuya matriz es la derivada $f'({\bf x})$:

$$df({\bf x}):{\bf z}\mapsto df({\bf x})({\bf z}) = f'({\bf x})^T{\bf z} = \sum_{i=0}^3(\partial_if({\bf x}))z_i,$$

es una funcional lineal, vale decir, es un elemento del dual $(\mathbb{R}^4)^*$. Así pues, $df({\bf x})=\sum_{i=0}^3(\partial_if({\bf x}))\ {\bf e}^*_i\in(\mathbb{R}^4)^*$. Sea $L\in{\cal L}$ una transformación de Lorentz invertible y sea $F=L^{-1}$. La matriz $F$ determina pues una base de $\mathbb{R}^4$ y el cambio de base está dado por la relación (2.1). La base dual $E^*$ es también la canónica y la dual de $F$ es $F^*=L^T$ (según (2.4)) y así, la diferencial se representa respecto a ésta mediante la cuarteta $(L^{-1})^Tf'({\bf x})$.

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