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Contracción ${\cal T}^{(k,\ell )} \to {\cal T}^{(k-1,\ell -1)}$.

Sean $k_1<k$ y $\ell_1<\ell$. Para ${\bf j}\in[\![0,3]\!]^{k-1}$ y $j\in[\![0,3]\!]$ sea $\phi_{k_1}({\bf j},j)\in[\![0,3]\!]^k$ el arreglo que se obtiene de insertar $j$ en la posición $k_1$ dentro de ${\bf j}$. Fija una base de $\mathbb{R}^4$, para un $(k,\ell)$-tensor $T\in{\cal T}^{(k,\ell)}$, al representarlo como $T=\left(T_{{\bf j};{\bf i}}\right)_{({\bf j};{\bf i})\in[\![0,3]\!]^k\times[\![0,3]\!]^{\ell}}$ se define

$$\forall({\bf j};{\bf i})\in[\![0,3]\!]^{k-1}\times[\![0,3]\!... ...^4T_{\phi_{k_1}({\bf j},\iota);\phi_{\ell_1}({\bf i},\iota)}.$$ (3.4)

$S=\Phi_{k_1\ell_1}(T)$ es la contracción de $T$ respecto a los índices $k_1\ell_1$.

Sea $T\in{\cal T}^{(k,\ell)}$ un $(k,\ell)$-tensor y sean $k_0,k_1$ dos índices distintos en el intervalo $[\![0,k-1]\!]$. Para ${\bf j}\in[\![0,3]\!]^{k-2}$ y $j_0,j_1\in[\![0,3]\!]$ sea $\phi_{k_0k_1}({\bf j},j_0,j_1)\in[\![0,3]\!]^k$ el arreglo que se obtiene de insertar $j_0$ y $j_1$ en las posiciones $k_0$ y $k_1$, respectivamente, dentro de ${\bf j}$.

$T$ es simétrico respecto a $k_0,k_1$ si las entradas de $T$ no cambian al intercambiar los índices en las posiciones $k_0$ y $k_1$:

$$\forall {\bf j}\in[\![0,3]\!]^{k-2},j_0,j_1\in[\![0,3]\!], {\... ...j_0,j_1);{\bf i}} = T_{\phi_{k_0k_1}({\bf j},j_1,j_0);{\bf i}}.$$

Similarmente, dados $\ell_0,\ell_1\in[\![0,\ell-1]\!]$, $T$ es simétrico respecto a $\ell_0,\ell_1$ si:

$$\forall {\bf j}\in[\![0,3]\!]^k, {\bf i}\in[\![0,3]\!]^{\ell-... ...},i_0,i_1)} = T_{{\bf j};\phi_{\ell_0\ell_1}({\bf i},i_1,i_0)}.$$

$T$ es antisimétrico, o alternante, respecto a $k_0,k_1$ si las entradas de $T$ cambian de signo al intercambiar los índices en las posiciones $k_0$ y $k_1$:

$$\forall {\bf j}\in[\![0,3]\!]^{k-2},j_0,j_1\in[\![0,3]\!], {\... ..._0,j_1);{\bf i}} = -T_{\phi_{k_0k_1}({\bf j},j_1,j_0);{\bf i}}.$$

Similarmente, $T$ es alternante respecto a $\ell_0,\ell_1$ si:

$$\forall {\bf j}\in[\![0,3]\!]^k, {\bf i}\in[\![0,3]\!]^{\ell-... ...,i_0,i_1)} = -T_{{\bf j};\phi_{\ell_0\ell_1}({\bf i},i_1,i_0)}.$$

$T$ es simétrico (a secas) si es simétrico respecto a cualquier par de índices y es alternante si lo es respecto a cualquier par de índices.

$M$ y su inversa, al estar dados por matrices diagonales, son simétricos. Los tensores de Levi-Civitá y de intensidad de campo electromagnético son alternantes. El producto interno, al ser un $(1,1)$-tensor, es simétrico y alternante a la vez, por mera vacuidad.

Para un conjunto $K$ de $k_1$ índices en $[\![0,k-1]\!]$, una $k_1$-ada $(j_0,\ldots,j_{k_1-1})\in[\![0,3]\!]^{k_1}$ y una $(k-k_1)$-ada ${\bf j}\in[\![0,3]\!]^{k-k_1}$ sea $\phi_K({\bf j};(j_0,\ldots,j_{k_1-1}))$ la $k$-ada obtenida al colocar (intercalar) cada índice $j_r$ en la posición $k_r$ dentro de ${\bf j}$.

Sea $T\in{\cal T}^{(k,\ell)}$ un $(k,\ell)$-tensor arbitrario. La simetrización y la antisimetrización de $T$ se definen haciendo para cada ${\bf j}\in[\![0,3]\!]^{k-k_1}$, $(j_0,\ldots,j_{k_1})\in[\![0,3]\!]^{k_1}$ e ${\bf i}\in[\![0,3]\!]^{\ell}$:

$$\begin{eqnarray*} T^{\mbox{\scriptsize sim}}_{\phi_K({\bf j};(j_0,\ldots,j_{k_1-... ...({\bf j};(j_{\sigma(0)},\ldots,j_{\sigma(k_1-1)}));{\bf i}} %\\ \end{eqnarray*}$$

donde $S_{k_1}$ es el grupo de permutaciones de $k_1$-índices. Se tiene pues que $T^{\mbox{\scriptsize sim}}$ y $T^{\mbox{\scriptsize alt}}$ son, respectivamente, simétrica y alternante respecto a parejas de índices en $K$. Procedimientos similares de simetrización y antisimetrización valen cuando se considera el segundo bloque de argumentos ${\bf i}$ y se deja fijo el primero ${\bf j}$.

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