Condición para obtener los Eigenvalores $\lambda$ en la representación vectorial

En el Cap. II vimos que la condición para obtener los Eigenvalores $\lambda$ era que la matriz resultante del producto de todas las Matrices de Transferencia tuviera su elemento (1,1) igual a cero, ahora veamos en cual condición se transforma la anterior en la Representación Vectorial de las Matrices Unimodulares. Supongamos que el $\widetilde{W}$ es el ``vector'' que representa a la suma total de los distintos ``vectores'' que representan a las Matrices de Transferencia

$$\widetilde{W} \: = \: \mbox{tanh} \: \theta \: \widehat{W}$$

por otra parte de la Ec. (IV.10') se tiene

$$\left[ \begin{array}{cc} \tau_{11} & \tau_{12} \\ \tau_{... ...\mbox{cosh} \ \theta \ I + \mbox{senh} \ \theta \ \widehat{W}$$ (IV.34)

si expresamos a $\widehat{W}$ como

$$\widehat{W} = w_{1} \: J + w_{2} \: K + w_{3} \: L$$

y luego sustituímos en (IV.34), se tiene

$$\left[ \begin{array}{cc} \tau_{11} & \tau_{12} \\ \tau_{... ... (w_{1} \:J + w_{2}\: K + w_{3} \ L)\: \mbox{senh} \: \theta$$

para que existan eigenvalores $\lambda$ se tiene que cumplir que $\tau_{11} = 0$, lo que implica de la Ec. de arriba

$$\tau_{11} = \mbox{cosh} \ \theta + \mbox{senh} \ \theta \ w_{2} = 0$$

por lo tanto

$$\mbox{tanh} \ \theta = -\frac{1}{w_{2}}$$ (IV.35)

finalmente si sustituímos la Ec. anterior en la expresión para $\widetilde{W}$ se tiene

$$\widetilde{W} = - \frac{1}{w_{2}}(w_{1}\:J + w_{2}\:K + w_{3} \:L)$$

o también

$$\widetilde{W} = - \frac{w_{1}}{w_{2}}\:J - 1 - \frac{w_{3}}{w_{2}}\:L$$ (IV.36)

entonces la condición para que existan Eigenvalores $\lambda$ es

$$W_{2} = -1$$ (IV.37)