Definición de $\Phi _n^{(1)}$ y de conjugado canónico

Definimos el espacio vectorial $\Phi _n^{(1)}$ como todas las combinaciones lineales generadas por el conjunto de funciones $\{p_1, p_2, \ldots, p_n, q_1, q_2, \ldots, q_n\}$ que cuando se evaluan nos dan la cantidad de movimiento o la coordenada. Notamos que

$$\mbox{dim }(\Phi_n^{(1)})=2n$$

.

Es conveniente hablar de una sola variable para denotar los elementos de la base, así definimos:

$$\begin{eqnarray*} x_j & = & \left\{ \begin{array}{cc} p_{-j} & j<0 \\ q_j & j>0 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

Definimos una transformación $T_f(\cdot)$ de la siguiente manera:

$$\begin{array}{ccc} T_f(g) & = & (\, \lambda(g) \; \; \{f,g\}\,) \end{array}$$

Esto significa que mantendremos fija la función $f$, y el argumento será $g$.

El que $T_f(\cdot)$ es un operador lineal se deriva del hecho de que los paréntesis de Poisson son lineales, es decir,

$$\{f,\alpha g+\beta h\}=\alpha\{f,g\}+\beta\{f,h\}$$

Pero como ya sabemos, en un espacio vectorial para cada transformación existe una representación matricial de ella, así para toda $f$ nosotros podemos tener una representación matricial de $T_f$.

Veamos algunos ejemplos, usando las reglas canónicas:

$$\begin{eqnarray*} \{p_j,p_k\} & = & \quad 0 \\ \{p_j,q_k\} & = & \quad \delta... ... \{q_j,p_k\} & = & -\delta_{jk} \\ \{q_i,q_k\} & = & \quad 0 \end{eqnarray*}$$

que en nuestra notación de $T_f^{'}S$ será:

$$\begin{eqnarray*} T_{p_j}(p_k) & = & \quad 0 \\ T_{p_j}(q_k) & = & \quad \del... ...T_{q_j}(p_k) & = & -\delta_{jk} \\ T_{q_j}(q_k) & = & \quad 0 \end{eqnarray*}$$

Para clarificar ideas que serán desarrolladas posteriormente formamos la siguiente tabla

$$\begin{array}{c\vert ccccccccc} T_x(y) & x= & p_1 & p_2 & \ld... ... q_n & & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{array}$$

Vemos que esta tabla es la matriz $J$, y que $\{T_x(\cdot)\}$ es un conjunto generador del espacio dual, ya que sólo difiere de la base dual, en que unas funciones tienen un factor de $-1$.

Denotamos el espacio dual por $\Phi_n^{(1)^+}$.

Ahora construyamos la base dual. Denotémosla por $\{\varphi_i\}$

Recordando que

$$\begin{eqnarray*} x_j & = & \left\{ \begin{array}{cc} p_{-j} & j<0 \\ q_j & j>0 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

vemos que tenemos que encontrar funciones $\varphi_i$ tal que

$$\varphi_i(x_j) = \delta_{ij}$$

si i = 1, debemos tener que

$$\varphi_1(x_1) = 1$$

es decir

$$\varphi_1(q_1) = 1$$

y que

$$\qquad \varphi_1(x_j) = 0 \quad , \quad j = 1$$

Si vemos nuestra tabla notamos que nuestra función $T_{P_i}$ cumple con esta propiedad y además que para $i > 0$

$$\varphi_i=T_{p_i}$$

Ahora solo nos resta encontrar las $\quad \varphi_{i}\quad , \quad i<0$

Para $i= -1$ debemos tener

$$\varphi_{-1}(x_{-1}) = 1$$

o sea,

$$\varphi_{-1}(p_{1}) = 1 \qquad \;$$

y

$$\qquad \qquad \varphi_{-1}(p_j) = 0 \quad \mbox{con} \quad j\neq -1$$

viendo nuestra tabla tenemos que $T_{q_i}$ cumple con esta propiedad salvo por un signo. Recordando lo que significa $T_x(\cdot)$

$$T_{q_1}(p_1) = \{q_1,p_1\} = 1$$

y también que podemos sacar una constante del paréntesis, proponemos

$$\varphi_1 = T_{-q_1}$$

veamos si se satisfacen las condiciones

$$\varphi_1(x_j) = T_{-q_1}(x_j) = \{-q_1,x_j\} = -\{q_1,x_j\} = -T_{q_1}(x_j) = -(-\delta_{ij}) = \delta_{ij}$$

Así

$$\varphi_i = T_{-q_i}$$

En resumen la base dual es:

$$\left\{ T_{p_1}, T_{p_2}, \ldots, T_{p_n}, T_{-q_1}, T_{-q_2}, \ldots, T_{-q_n} \right\}$$

Ahora definimos el conjugado canónico del vector $x_i$ como aquel vector $\cal{Y}$ tal que

$$T_y (x_i) = 1 \qquad \, \\$$

y

$$\qquad \quad T_y (x_k) = 0 \qquad \mbox{si } k \neq i$$

Así vemos que el conjugado canónico de $p_i$ es $-q_i$, y el de $q_i$ es $p_i$.

Debido a $\{p_i, -q_i\}$ es también una base del espacio $\Phi _n^{(1)}$ vemos que en realidad el tomar el conjugado canónico es una función entre dos bases del mismo espacio. Denotemos esta función por $M$, así

$$\begin{eqnarray*} M(p_i) & = & -q_i \\ M(q_i) & = & p_i \end{eqnarray*}$$