Singularidades

Si ${\cal F} (z)$ es analítica en un círculo C , excepto en el centro a del círculo, ${\cal F} (z)$ es analítica en el anillo entre C y cualquier círculo $\gamma$, de centro a , tan pequeño como queramos. Por consiguiente, ${\cal F} (z)$ admite un desarrollo de Laurent

$${\cal F} (z) =\cdots\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}+\cdots +\frac{c_{-1}}{(z-a)} + c_0 + c_1(z-a) +c_2(z-a)^2 + \cdots$$ (1.3)

válido en todo C excepto en el mismo a.

La función 1.3 presenta una estructura muy adecuada, en el sentido en que se distinguen 2 partes en la serie, la parte principal (o infinita) y la parte finita, estas se muestran en las expresiones 1.4 y 1.5 respectivamente:

$$\cdots\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}+\cdots +\frac{c_{-1}}{(z-a)}$$ (1.4)

$$c_0 + c_1(z-a) +c_2(z-a)^2 + \cdots$$ (1.5)

Si este desarrollo de Laurent contiene únicamente potencias no negativas de z-a, esto es, sólo está presente la parte finita, para todo z, excepto quizás para z=a, entonces asignando a ${\cal F} (z)$ el valor a₀ en z=a aseguramos que la ecuación anterior es válida en todo C, luego ${\cal F} (z)$ es analítica en todo C, incluyendo el punto a.

Si el desarrollo de Laurent contiene potencias negativas de z-a, entonces se dice que ${\cal F} (z)$ tiene una singularidad aislada en a. Es decir, el punto a donde la función deja de ser analítica es llamado un punto singular o crítico. Por ejemplo z=0 es una singularidad de $\frac{1}{z}$.

El que se nombre un punto singular aislado significa que puede dibujarse un círculo teniendo como centro el punto de singularidad a₀, de tal forma que no encierre a otro punto de singularidad (a₁ por ejemplo) de la misma función.

Los puntos de singularidad aislada se consideran de dos tipos:

1.

Puntos de singularidad esencial. Estos puntos se caracterizan porque en su parte principal el número de coeficientes c_i distintos de cero es infinito.

2.

Polos. Estos puntos tienen un número finito de coeficientes c_i distintos de cero en su parte principal. Y para determinar el orden del polo tenemos que si la serie de potencias negativas termina en el término

c_-p(z-a)^-p

la singularidad se llama polo de orden p.