Los dos subespacios que surgen de la propiedad de los eigenvalores en parejas recíprocas.

Calculemos la ecuación característica de los subespacios $T'+{T'}^{-1}$ esto es, para el subespacio $T_{11}$.

$$\left\vert\begin{array}{cc} \gamma -1-\omega & \beta +\gamma +1 \\ 1 & 1-\omega \end{array}\right\vert = 0$$

Resolviendo:

$$(\gamma -1-\omega)\; (1-\omega)\; -\; (\beta +\gamma +1)\; =\; 0$$

multiplicando

$$\omega^2 -\gamma\omega -(\beta -2)\; =\; 0$$

$$\omega = \frac{\gamma}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{\gamma}{2}\right)^2 +(\beta +2)}$$ (3.8)

Para el subespacio $T_{22}$, la ecuación característica es:

$$\left\vert\begin{array}{cc} -1-\omega & 1 \\ \beta -\gamma +1 & \gamma +1-\omega \end{array}\right\vert = 0$$

Por lo tanto la ecuación característica es:

$$\omega^2 -\gamma\omega -\beta -2=0$$

$$\omega = \frac{\gamma}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{\gamma}{2}\right)^2 +(\beta +2)}$$ (3.9)

O sea las raíces de las ecuaciones características de los dos subespacios, esto es, (3.8) y (3.9) son las mismas; por lo tanto podemos concluir que hay una degeneración entre los dos subespacios, diagonalizados, ya que esas dos raíces deben ser conjugadas; además $\omega$ es la raíz de la matriz $T'+{T'}^{-1}$.