Evaluación de $T^{(n)}$ y $x(\xi ,y)$ usando parámetros.

Ahora queremos una nueva representación para poder calcular el polinomio característico $x(\lambda ,Y)$, con lo cual podemos calcular la matriz $T^{(n)}$ para esto es necesario poner los elementos de la matriz de transferencia en términos de los parámetros $Y$ y $\xi$ definidos por (4.1) y (4.2) respectivamente.

Con esta notación resulta:

$$\begin{array}{ccl} \gamma & = & \alpha = -4Y \\ \beta & = & (4Y +1) (2 -4\xi) \\ \delta & = & -1 \end{array}$$ (4.34)

Por lo tanto la matriz de transferencia resulta de la forma:

$$T =\left[\begin{array}{cccc} -4Y & 2(4Y+1)(1-2\xi) & -4Y ... ... 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$$ (4.35)

Empleando la ecuación (4.7) para el polinomio característico de $T$ en función de sus raíces resulta

$$x(\varepsilon ,\xi) =(\mu^2 -2\mu\cosh\phi_1 +1)(\mu^2 -2\mu\cosh\phi_2 +1)$$ (4.36)

En donde:

$$\begin{eqnarray*} \cosh\phi_1 & = a = & \frac{1}{2} (\varepsilon +\frac{1}{\var... ... }) \\ \cosh\phi_2 & = b = & \frac{1}{2} (\xi +\frac{1}{\xi}) \end{eqnarray*}$$

efectuando el producto indicado en (4.36) resulta

$$x(\varepsilon ,\xi) =\mu^4 -2\mu^3(\cosh\phi_1 +\cosh\phi_2)... ...\cosh\phi_1\cosh\phi_2) -2\mu (\cosh\phi_1 +\cosh\phi_2) +1$$

Comparando esta última ecuación, con la ecuación (4.6) junto con los parámetros dados por (4.34) resulta

$$4Y = - 2(\cosh\phi_1 +\cosh\phi_2 )$$

$$Y = -\frac{1}{2}(\cosh\phi_1 +\cosh\phi_2 )$$ (4.37)

Comparando el coeficiente de $\mu^2$ resulta

$$2(1+2\cosh\phi_1\phi_2 ) = -2(4Y +1)(1-2\xi)$$

$$1+2\cosh\phi_1 \cosh\phi_2 = -(1-2\xi) (1+4Y)$$ (4.38)

Comparando el coeficiente de $\mu$ resulta:

$$-4Y = 2(\cosh\phi_1 +\cosh\phi_2)$$

$$\cosh\phi_1 = -2Y -\cosh\phi_2$$ (4.39)

Por otra parte anteriormente definimos que $\cosh\phi =C$, por analogía definamos:

$$\cosh\phi_1 =C_1 \mbox{\hspace{.2in} y \hspace{.2in}} \cosh\phi_2 =C_2$$ (4.40)

Usando la ecuación (4.38), junto con las ecuaciones (4.39) y (4.40) resulta:

$$1+2C_1 (-2Y-C_1 ) = -(1-2\xi) (1+4Y)$$

Solucionando para $C_1$ tenemos

$$C_1 =-Y\pm \sqrt{Y^2 +\frac{1}{2} [1+(1-2\xi)(1+4Y)]}$$

Y reduciendo términos en el radicando resulta:

$$C_1 = -Y+\sqrt{(Y+1)^2 -\xi(1+4Y)}$$ (4.41)

$$C_2 = -Y-\sqrt{(Y+1)^2 -\xi(1+4Y)}$$

En términos de las ecuaciones dadas por (4.41), podemos evaluar $T^{(n)}$ por lo tanto $x(\xi ,Y)$. Además este sistema de coordenadas lo utilizamos para graficar el espectro de frecuencias obtenido a partir de la condición de que el menor de la matriz $T^{(n)}$ es cero, esto es:

$$T_{11}^{(m)} = \left\vert\begin{array}{ll} q_{11} (\lambd... ...21} (\lambda ) & q_{22} (\lambda ) \end{array}\right\vert =0$$