Sistemas de ecuaciones de movimiento en forma matricial.

Consideremos una cadena unidimensional monoatómica, formada por masas equidistantes $m$ y constantes de resorte $k$, esto es:

En donde la serie: $1,2,\ldots ,n$ nos denotará la colocación de las partículas y la serie: $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ nos denotará sus desplazamientos, relativos a su posición de equilibrio.

Por otra parte, los resortes que consideramos son elásticos, de tal forma que si $x_i,x_{i+1}$ y $x_{i+2}$ son los desplazamientos (que consideramos transversales) de las masas sucesivas, en sus posiciones de equilibrio, entonces la fuerza debida a interacciones a segundos vecinos, entre la partícula $i$-ésima y sus dos vecinas más próximas, por la derecha e izquierda es, aplicando la ley de Hooke.

$$f_i = k(x_{i+1} + x_{i-1} - 2x_i) + k' (x_{i+2} + x_{i-2} - 2x_i)$$ (2.1)

En donde $k$ y $k'$ son las constantes de fuerza asociadas con interacciones de fuerza central a primeros y segundos vecinos respectivamente.

La fuerza descrita por la ecuación (2.1), depende linealmente del desplazamiento relativo de las partículas, entonces si movemos todo el resorte, éste no producirá una fuerza del tipo que queremos analizar, pero si movemos las partículas relativas una a otra obtendremos una fuerza, por lo tanto analizaremos como por ejemplo, un desplazamiento en la partícula $1$, va a producir una fuerza en la partícula $3$, es claro que además existen otros tipos de fuerzas que no serán descritas por nuestras ecuaciones de movimiento, como son las debidas a un campo electrostático, estas fuerzas se involucran en un modelo mucho más realista como es el de polímeros y sólidos, también es claro que aunque es una hipótesis muy sencillo suponer que únicamente existen fuerzas debidas a interacciones entre las partículas, es adecuado para muchas aplicaciones.

Usando la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza actuando sobre la partícula $i$-ésima está dado por:

$$\sum_{i=1}^n f_i = m\mbox{\uml x}_i$$ (2.2)

y que juntamente con la ecuación (2.1) resulta:

$$\mbox{\uml x}_i=\frac{k}{m} (x_{i+1} + x_{i-1} - 2x_i) + \frac{k'}{m} (x_{i+2} + x_{i-1} - 2x_i)$$ (2.3)

De lo anterior podemos notar, que la distancia entre las partículas, es decir, la constante de la red no entra explícitamente en las ecuaciones (2.1) ya que su efecto está involucrado en las constantes de fuerza; por otra parte con esta ecuación es posible calcular las ecuaciones de movimiento de todas las partículas que se encuentren en el interior de la cadena; para las partículas de los extremos, las ecuaciones de movimiento están dadas por:

$$f_1 = m\mbox{\uml x}_1 = k(x_2 -2x_1) +k' (x_3 -2x_1)$$ (2.4)

Para la partícula del extremo izquierdo

$$f_n = m\mbox{\uml x}_n = k(x_{n-1} - 2x_1) +k'(x_{n-2} -2x_n)$$ (2.5)

Para la partícula del extremo derecho. Es conveniente definir las siguientes cantidades:

$$\begin{array}{lllcr} a_1=\frac{k}{m} \ ; & & a_2 =\frac{k'}{m} & \mbox{y} & a_0 = -2(a_1 +a_2) \end{array}$$

Con lo cual las ecuaciones: (2.3), (2.4) y (2.5) se transforman en:

$$\mbox{\uml x}_1 = a_0 x_1 +a_1 x_2 +a_2 x_3 \qquad \; \qquad \; \qquad \; \qquad \; \; \eqno{(2.3')}$$

$$\mbox{\uml x}_i = a_0 x_i +a_1 x_{i+1} +a_2 x_{i+2} +a_1 x_{i-1} +a_2 x_{i-2} \eqno{(2.4')}$$

$$\mbox{\uml x}_n = a_0 x_n +a_1 x_{n-1} +a_2 x_{n-2} \qquad \; \qquad \; \qquad \; \; \; \eqno{(2.5')}$$

Por lo tanto con este modelo físico, llegamos a un sistema de ecuaciones diferenciales que en forma matricial, lo podemos escribir como:

$$\frac{d^2}{dt^2} \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \... ...ray}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ : \\ : \\ x_n \end{array}\right]$$ (2.6)

Por lo tanto vemos, que para este caso particular, las ecuaciones de movimiento dan lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales, en donde la matriz de los coeficientes que resulta de forma pentagonal nos denotará la matriz de movimiento de la cadena. Matemáticamente el problema en resolver el sistema de ecuaciones diferenciales está involucrado en la matriz de movimiento, por lo cual se hace necesario dedicarle un estudio especial.

Es necesario mencionar que aunque en este momento, es nuestra intención discutir la formulación matemática para el interior de cualquier cadena, tenemos que emplear conceptos del caso de una cadena con extremos fijos Fig. 1, que puede ser considerada como el interior de una cadena, lo mismo que el modelo del anillo, que son algunos de los modelos que analizaremos posteriormente (Cap. 6 y Cap. 5 respectivamente).