Cuantización de $\varepsilon$ y de la componente $Z$ del momento angular

Como se vió en la sección anterior, la obtención de la cuantización de $\varepsilon$ y la componente $Z$ del momento angular debe basarse en argumentos un poco menos directos que los usados. La dificultad de los argumentos empleados es un problema que se tienen desde el trabajo original de Dirac [6] y ha sido la causa de diversos trabajos al respecto [65,66], pues es de importancia fundamental aclarar las bases de la cuantización de $\varepsilon$.

$\varepsilon$ tiene la forma (sección I.B):

$$\mbox{{\Large$\varepsilon$}} = \frac{e g}{c}$$ (1)

o sea, es el producto de una carga eléctrica por una magnética, dividido entre la velocidad de la luz. El resultado de que $\frac {\varepsilon}{\hbar} = \frac {e g}{\hbar c}$ pueda tomar sólo valores enteros (o semienteros) implica, conociendo experimentalmente la cuantización de la carga eléctrica, que la carga magnética, de existir, está también cuantizada. Esta es una situación única en la física; el tener que de las condiciones primarias de una teoría (la Mecánica Cuántica), se obtengan condiciones conclusivas sobre un posible observable fundamental. Siendo este resultado teóricamente tan satisfactorio, la no existencia de partículas cargadas magnéticamente, de ser verdadera, debe ser efecto de profundos requerimientos de alguna teoría más básica que la Mecánica Cuántica. Ha habido la especulación de que el problema de la cuantización de la carga magnética está estrechamente ligado con el del valor exacto de la constante de estructura fina $\alpha_f$:

$$\alpha_f = \frac{e^2}{\hbar c} = \frac{e \cdot e}{\hbar c} = \frac {1}{137.037}$$ (2)

siendo el último resultado en la ec. (2), experimental. La analogía de esta cantidad con:

$$\frac{\varepsilon}{\hbar} = \frac {e g}{\hbar c}$$ (3)

es evidente. Para algunos [65,66], una teoría satisfactoria del campo Electromagnético, debe explicar el valor de $\alpha_f$ y decidir sobre la existencia o no existencia de monopolos magnéticos.

En el trabajo original de Dirac [6]; se obtiene la cuantización de $\varepsilon$ del estudio de los cambios de fase físicamente aceptables de las funciones de onda (aquellos que no dan lugar a ambigüedades en la interpretación de la teoría cuántica) cuando se estudia su comportamiento sobre una curva cerrada que rodea una línea en la cual una de estas funciones es O (estas líneas en las cuales se anulan las funciones de onda se denominan líneas nodales; trabajando no con 3 dimensiones $[x, y, z]$ sino con 4 $[x, y, z, t]$, se obtienen superficies nodales). Los cambios de fase deben, entonces, para evitar ambigüedades de interpretación, estar cuantizados de tal manera que, de acuerdo a los argumentos de Dirac, $\frac{2e g}{\hbar c}$ debe ser igual a un entero.

Posteriormente, en 1944, Fierz [65] obtuvo el mismo resultado usando otro método, el cual se basa en el requerimiento de que las funciones de onda aceptables formen parte de un espacio de representación del grupo de rotaciones $O(3)$; el requerimento realmente esencial consiste en que las funciones de onda deben ser cuadráticamente integrables (elementos de un espacio de Hilbert), el cual proviene directamente de los postulados de la Mecánica Cuántica [68]. Recientemente Hurst [66] ha seguido un procedimiento análogo al de Fierz, pero desde un punto de vista más algebraico; en su trabajo, Hurst menciona la manera en que el problema de la cuantización de $\varepsilon$ está ligado con el de las condiciones bajo las cuales un álgebra de Lie se puede integrar para obtener el grupo de Lie correspondiente. Se describen a continuación los métodos de Fierz y Hurst con los pormenores relevantes; dicha descripción se basa en uso de coordenadas esféricas $[\rho, \theta, \phi]$ (las mismas que usaron ellos) por razones que se explican al final de la parte concerniente al trabajo de Fierz.

i) Procedimento de Fierz. Escribiendo la solución para la coordenada $\phi$ en la forma:

$$\Phi (\phi) = \mbox{{\Large$e$}}^{i(k + \frac{\varepsilon}{\hbar}) \phi}$$ (4)

se demuestra que $K$ y $\frac{\varepsilon}{\hbar}$ deben ser enteros o semienteros para obtener soluciones físicamente aceptables, si se usa como ``potencial vectorial" para el campo magnético el mismo empleado por Dirac [65], el cual es el $\overline{A}_2$ anotado anteriormente (ec.(20), Introducción):

$$\overline{A}_2 = \frac{g}{p(p + z)} (-y, x, 0)$$ (5)

El argumento se basa en la observación de que la observable representada por el operador siguiente es una constante del movimiento:

$${\cal{\overline{D}}} = \overline{\rho} \times (\overline{p} - \frac{e_2}{c}\; \overline{A}_2) - \varepsilon \widehat{\rho}$$ (6)

( $\cal{\overline{D}}$ es el análogo cuántico del vector $\overline D$ de ``momentum angular total", cuya constancia en el caso clásico se demostró en las secciónes I.B y I.C. $\overline D$ está dado por (ec. 7, sección I.B): $\overline{D} = \overline{\rho} \times (\overline{p} - \frac{e_2}{c} \overline{A}) - \varepsilon \widehat{\rho}$). Las cantidades que aparecen en la ec. (6) representan realmente operadores, pero se usará la notación del caso clásico mientras no haya confusiones. La constancia de $\cal{\overline{D}}$ se demuestra más adelante, en la sección II.D.

Además, como se verá en la sección II.D, las componentes de $\cal{\overline{D}}$ satisfacen las relaciones de conmutación (análogas a las de paréntesis de Poisson del caso clásico, ec. (179), sección I.C):

$$[{\mathcal{D}}_\ell, {\mathcal{D}}_j]= i \hbar \mbox{{\Large$\varepsilon$}}_{\ell j k} \mathcal{D}_k$$ (7)

Las relaciones anteriores corresponden a las de el Álgebra de Lie de los generadores del grupo $O(3)$, o sea, son las relaciones comúnmente llamados de momentum angular. Siguiendo el procedimiento de rutina para el momento angular [69], se definen ahora los operadores de escalera dados por:

$${\mathcal{D}}_+ = {\mathcal{D}}_x + i{\mathcal{D}}_y$$ (8)

$${\mathcal{D}}_- = {\mathcal{D}}_x - i{\mathcal{D}}_y$$ (9)

Se puede escribir, en coordenadas esféricas [65]:

$${\mathcal{D}}_z = -i \hbar\;\frac{\partial}{\partial\phi} - \mbox{{\Large$\varepsilon$}}$$ (10)

$${\mathcal{D}}_+ = \hbar \mbox{{\Large$e$}}^{i \phi} \left(\frac{\partial}{\partia... ...ac{\mbox{{\Large$\varepsilon$}}\;\mbox{sen}\theta}{1 + \mbox{cos}\theta}\right)$$ (11)

$${\mathcal{D}}_- = \hbar \mbox{{\Large $e$}}^{-i \phi}\left(-\frac{\partial}{\part... ...ac{\mbox{{\Large$\varepsilon$}}\;\mbox{sen}\theta}{1 + \mbox{cos}\theta}\right)$$ (12)

En las ecuaciones anteriores, $\varepsilon$ $= \frac{e_2 g}{c}$, de acuerdo con la sección I.B. Ahora, se encontrará un conjunto de funciones que son eigenfunciones de ${\mathcal{D}}_z$ y que forman un espacio que es base para una representación de $O(3)$. Es claro que estas eigenfunciones pueden escogerse como funciones de onda (eigenfunciones del Hamiltoniano $H$) pues ${\mathcal{D}}_z$ y $H$ conmutan: $[{\mathcal{D}}_z, H] = 0$. Pero, de acuerdo con los postulados de la Mecánica Cuántica [68], las eigenfunciones de $H$ deben ser cuadráticamente integrables; como se mencionó anteriormente, éste es el requerimiento esencial, del cual se implica la cuantización buscada.

Se debe tener, entonces, que las eigenfunciones $\psi_m$ de ${\mathcal{D}}_z$ (que lo son, de acuerdo con lo anterior, de $H$) satisfacen la condición:

$$\int_I \;\arrowvert \psi_m (q)\arrowvert^2 d q < \infty$$ (13)

en la cual $q$ denota el argumento de $\psi_m$ e $I$ el conjunto de integración.

Si se describen las funciones de onda en la forma:

$$\psi = R(p) Y_k (\mbox{cos}\theta)\;\mbox{{\Large$e$}}^{i(k + \frac{\varepsilon}{\hbar})\phi}$$ (14)

se obtiene para $Y_k$, ya que ${\mathcal{D}}_+$ es operador de escalera y siendo $x = \mbox{cos}\theta$:

$$(1 - x^2)^\frac{1}{2} \left(\frac{d}{d x} + \frac{k x + \frac{\varepsilon}{\hbar}}{1 - x^2}\right) Y_k = Y_{k + 1}$$ (15)

Usando ahora la ecuación (de comprobación trivial desarrollando el lado derecho):

$$Y^1 + \mbox{f} Y = \left\{\mbox{{\Large $e$}}^{-\int\mbo... ...[(\mbox{{\Large$e$}}^{\int\mbox{f} d x}) Y \right]\right\}$$ (16)

Al comparar con (15) se tiene que $\mbox{f} = \frac{kx + \frac{\varepsilon}{\hbar}}{1 - x^2}$ y el resultado:

$$Y_{k + 1} = (1 - x^2)^\frac{k + 1}{2} \Big(\frac{1 - x}{1 +... ...frac{\varepsilon}{2\hbar} (1 - x^2)^{-\frac{k}{2}} Y_k\Big\}$$ (17)

Usando ahora $D_-$, se obtiene una fórmula que tiene a $Y_{k - 1}$ en el lado izquierdo. Por aplicación repetida de estas dos fórmulas se obtiene:

$$Y_{k + n} = (1 - x^2)^\frac{k + n}{2} \Big(\frac{1 - x}{1 +... ...^\frac{\varepsilon}{2\hbar} (1 - x^2)^{-\frac{k}{2}} Y_k\Big]$$ (18)

$$Y_{k - n} = (1 - x^2)^\frac{n-k}{2} \Big(\frac{1 + x}{1 - ... ...^\frac{\varepsilon}{2\hbar} (1 - x^2)^{\frac{k}{2}} Y_k\Big]$$ (19)

En términos de $x = \mbox{cos} \theta$, la expresión (13) se convierte en:

$$\int^1_{-1} \arrowvert Y_k (x)\arrowvert^2 d x < \infty$$ (20)

En general, si los términos encerrados por los corchetes de las ecs. (18,19) contienen potencias de $x$ que no son números enteros positivos; por aplicación del operador de derivada, a medida que $n$ crece se tendrá que $Y_{k + n}$ y $Y_{k - n}$ contienen potencias de $x$ negativas con módulos arbitrariamente grandes; o sea para cada $k$, existirá un valor de $n$ a partir del cual la condición (20) no se cumple para $Y_{k + n}$ y $Y_{k - n}$, por lo que la función de onda asociada (ec. (14)) no será físicamente aceptable. Entonces, la única manera de que la condición (20) se cumpla para todo valor de $n$ en $Y_{k + n},\;Y_{k - n}$, es que los términos encerrados por los corchetes en (18) y (19) sean polinomios; sean estos polinomios $p(x)$ y $q(x)$, definidos por:

$$p(x) = \Big(\frac{1 + x}{1 - x}\Big)^\frac{\varepsilon}{2\hbar} (1 - x^2)^{-\frac{k}{2}} Y_k$$ (21)

$$q(x) = \Big(\frac{1 - x}{1 + x}\Big)^\frac{\varepsilon}{2\hbar} (1 - x^2)^{\frac{k}{2}} Y_k$$ (22)

De (21) y (22):

$$q(x) = (1 + x)^{(k - \frac{\varepsilon}{\hbar})}\; (1 - x)^{(k + \frac{\varepsilon}{\hbar})}\; p(x)$$ (23)

Si $p(x)$ es un polinomio, $q(x)$ lo será también si y sólo si $k -\frac{\varepsilon}{\hbar} = \ell_1$ y $k+ \frac{\varepsilon}{\hbar} = \ell_2$ con $\ell_1, \ell_2$ números enteros, los cuales pueden ser positivos o negativos, sujetos en este último caso a la condición de que $p(x)$ tenga como factor un polinomio divisible entre $(1 - x)^{-\ell_2}(1+x)^ {- \ell_1}$ en el anillo de polinomios.

Lo anterior implica, ya que $k = \frac{\ell_1 + \ell_2}{2}$ y $\frac{\varepsilon}{\hbar} = \frac{\ell_2 - \ell_1}{2}$, que $k$ y $\frac{\varepsilon}{\hbar}$ deben ser los dos enteros o los dos semienteros. Este es el mismo resultado de Dirac.

No se presenta el tratamiento anterior en las coordenadas cuadrático parabólicas originales pues, haciendo un exámen del mismo, se ve que su éxito está basado en que fue posible obtener ecuaciones del tipo (15) para las $Y_k$'s, o sea, ecuaciones diferenciales de una sola variable. Esto se debe a que las coordenadas esféricas contienen una de longitud $(\rho)$ y dos de ángulo, teniendo que las eigenfunciones de ${\mathcal{D}}_z$ tienen las dependencias en $(\rho)$ y en $(\theta,\phi)$ completamente diferenciadas, lo cual permite, tomando ventaja de la sencilla dependencia en ${\phi}$ (ec. (14)), obtener una ecuación diferencial ordinaria para $Y_k$. Sin embargo, al usar las coordenadas $[\mu, \nu, \phi]$, se obtiene que ${\mathcal{D}}_\pm$ contienen derivadas con respecto a $\mu, \nu, \phi$. La derivada con respecto a $\phi$ no causa ningún problema (desaparece) por la misma razón considerada en coordenadas esféricas, pero las derivadas con respecto a $\mu$ y $\nu$ aparecen en forma más o menos simétrica, por lo que se obtienen para las $Y$'s ecuaciones diferenciales parciales con 2 variables.

ii) Procedimento de Hurst. Realmente, el método de Fierz se ha incluído por dos razones principales: para aclarar las características básicas del procedimiento de Hurst y para obtener un tipo de cuantización que es fundamentalmente distinto del que se obtendrá ahora para $\mbox{{\large$\varepsilon$}}$ usando el potencial $\overline A$. Usando el ``potencial vectorial" $\overline{A}_2$ (ec. (5)), se obtiene el resultado de que $\frac{\mbox{{\large$\varepsilon$}}}{\hbar}$ puede tomar valores enteros y semienteros; al usar el potencial $\overline A$ (ec. (2-a), sección I.C), se obtiene, como se verá a continuación, que $\frac{\mbox{{\large$\varepsilon$}}}{\hbar}$ sólo puede tomar valores enteros. Ya que $\overline A$ y $\overline{A}_z$ difieren tan sólo en una norma (gauge) (ec. (21), Introducción), éste es un resultado realmente inesperado. Se volverá sobre este punto en la sección de conclusiones.

En lugar de considerar las ecuaciones para los operadores de escalera (ecs. (18), (19)) se trabaja con la ecuación de eigenvalores para el operador $\overline{{\mathcal{D}}}^2 = \overline{{\mathcal{D}}} \cdot \overline{{\mathcal{D}}}$ con $\overline{{\mathcal{D}}}$ dado por la ec. (6). Ya que $\overline{{\mathcal{D}}}$ es una constante del movimiento, lo es también $\overline{{\mathcal{D}}}^2$, por lo que sus eigenfunciones se pueden escoger como funciones, de onda. Escribiendo estas funciones de onda en la forma:

$$\Psi (\rho, \theta, \phi) = R\;(\rho)\; \Phi\; (\theta, \phi)$$ (24)

y usando el hecho de que al emplear $\overline A$ dado por la ec. (2-a) de la Introducción se tiene:

$$\overline{{\mathcal{D}}}^2 =-\hbar^2 \left[\frac{1}{\mbox{... ...\large$\varepsilon$}}}^2}{\hbar^2 \mbox{sen}^2\theta}\right]$$ (25)

se obtiene para la ecuación de eigenvalores de $\overline{{\mathcal{D}}}^2$:

$$\overline{{\mathcal{D}}}^2 \Phi \;(\theta , \phi) = \hb... ...) = \hbar^2 \;\ell\;(\ell + 1)\; \Phi\; (\theta , \phi)$$ (26)

en el cual el eigenvalor $\lambda$ correspondiente se ha escrito como $\ell (\ell + 1)$.

Escribiendo ahora:

$$\Phi\;(\theta, \phi) = \mbox{{\Large $\varepsilon$}}^{ik\phi}\;\Psi_1(\theta)$$ (27)

se obtiene de (26) y (27) la siguiente ecuación para $\Psi_1 (\theta)$:

$$\frac{d^2\Psi_1}{d \theta^2} + \mbox{cot}\theta\;\frac{d\... ...sen}^2\theta}\right) \Psi_1 + (\ell) (\ell + 1) \Psi_1 = 0$$ (28)

Sea:

$$\mbox{u} = \mbox{cos}\theta$$ (29)

Escribiendo:

$$\Psi_1(\theta) = \Psi_2 (\mbox{u}) = \Big(\frac{1 - \mbox{u... ...{\varepsilon}{\hbar})} \mbox{f}\Big(\frac{1-\mbox{u}}{2}\Big)$$ (30)

resulta, usando las ecs. (28,29) y la notación:

$$\omega = \frac{\varepsilon}{\hbar}$$ (31)

la ecuación:

$$(1 - \mbox{u}^2)\;\frac{d^2 \Psi_2}{d\mbox{u}^2} - 2\mbox{... ...mega^2}{1 - \mbox{u}^2} \Psi_2 + \ell (\ell + 1) \Psi_2 = 0$$ (32)

con el cambio de variable:

$$Z = \frac{1 - \mbox{u}}{2}$$ (33)

se obtiene, de la ec. (30):

$$\Psi_1 (\theta) = \Psi_2 (\mbox{u}) = \Psi(Z) = Z^{\frac{1}{2}(k + \omega)} (1 - Z)^{\frac{1}{2}(k - \omega)}\; \mbox{f}(Z)$$ (34)

Usando las ecs. (33,34) en (32) resulta la siguiente ecuación diferencial para $\mbox{f}(Z)$:

$$Z(1 - Z) \frac{d^2 \mbox{f}}{dZ^2} + [(\omega + k + 1) - (2... ...c{d\mbox{f}}{dZ} - [(k - \ell)(k + \ell + 1)] \mbox{f} = 0$$ (35)

Pero la ecuación (35) es idéntica a la ecuación hipergeométrica [70]:

$$Z (1 - Z) \frac{d^2 \mbox{f}}{dZ^2} + [d - (a + b + 1) Z] \frac{d \mbox{f}}{dZ} - a b \mbox{f} = 0$$ (36)

haciendo las identificaciones:

$$a = k - \ell$$ (37)

$$b = k + \ell + 1$$ (38)

$$d = k + \omega + 1$$ (39)

La solución de (36) se escribe en la forma [70]:

$$\mbox{f} (Z) = \delta_1 F (a, b, d, Z) + \delta_2 Z^{1 - d} F (b - d + 1, a - d + 1, 2 - d, Z)$$ (40)

con $\delta_1, \delta_2$ constantes.

Usando las ecs. (37-39, 34) se obtiene para $\Psi(Z)$:

$$\Psi(Z) = Z^{\frac{1}{2}(k + \omega)} (1 - Z)^{\frac{1}{2}(k - \omega)} [\delta_1 F (k - \ell, k + \ell + 1, k + \omega + 1, Z)+$$

$$+ \delta_2 Z^{(-k - \omega)} F (\ell - \omega + 1, -\ell - \omega, 1 - k - \omega, Z)]$$ (41)

De acuerdo con las ecuaciones (25,26), la función $\Psi(Z)$ debe ser regular (debe existir su derivada - la cual debe ser derivable también, según (25)-) en todo su dominio de definición. En coordenadas esféricas, $\theta$ se define entre 0 y $\pi$. Entonces, usando las ecuaciones (33,29) se tiene que el intervalo de definición de $Z$ es [0,1]. Entonces, la función $\Psi(Z)$ debe ser regular en el intervalo [0,1]; en particular, la regularidad de $\Psi$ en 0 y en 1 implica, como se verá en lo siguiente, la cuantización de $k$ y $\omega$.

En el análisis que sigue, sea $\omega > 0$; como se verá al final del mismo, este requerimiento no implica ninguna restricción sobre la validez general del estudio y se hace sólo por razones de concretez en los argumentos. Hay que considerar los siguientes casos:

Caso 1

$k > w$

i) Para $Z = 0$, la regularidad de $\Psi$ implica $\delta_2 = 0$.

ii) Para $Z = 1$, usando la fórmula (71) para desarrollar la función hipergeométrica con respecto al punto $Z = 1$:

$$F (a, b, d, Z) = \frac{\Gamma(d) \Gamma (d - a - b)}{\Gamma (d - a)\;\Gamma (d - b)} F (a, b, a + b - d + 1, 1 - Z)+$$ (42)

$$\frac{\Gamma(d) \Gamma (a+b-d)}{\Gamma (a)\;\Gamma (b)}(1-Z)^{d-a-b}F(d-a,d-b,d-a-b+1,1-Z)$$ (43)

se obtiene regularidad de $\Psi(Z)$ en $Z = 1$ si y sólo si $a = -p$, con $p$ un entero positivo ó 0 (en cuyo caso la serie que se tiene en (41) se reduce a un polinomio); o sea, si y sólo si (usando la ec. (37)):

$$\ell = k + p$$ (44)

La razón de lo anterior es la siguiente: al usar la fórmula (42)) aparece en el 2do. término del lado derecho de la misma una potencia de $(1 - Z)$ de la forma: $(1 - Z)^{d - a - b} = (1 - Z)^{(\omega - k)}$, lo cual implica que la potencia de $(1 - Z)$ que aparece en la ec. (41) es $(1 - Z)^{\frac{1}{2}(\omega - k)}$. Entonces, la condición $k > \omega$ implica $\omega - k < 0$, lo cual implica que hay regularidad de $\Psi(Z)$ en $Z = 1$ si y sólo si el segundo término del lado derecho, de la ec. (42) es 0; ésto es posible si y sólo si $a$ ó $b$ (o ambas) son enteros negativos ó 0, pues $\Gamma (a)$ y $\Gamma(b)$ aparecen en el denominador del término que se quiere anular; la condición sobre $a$ ó $b$ es necesaria y suficiente pues la función $\Gamma$, para argumento real, nunca [72] es 0, por lo que, para anular términos de la forma $\frac{\Gamma (x)}{\Gamma (y)}$ como el que aparece en la expresión que se desea anular, la única manera de hacerlo es haciendo $(y)$ un entero negativo ó 0, pues sólo en estos casos [72] $\Gamma (y) \to \pm \infty$.

Caso 2

$-\omega < k < \omega$

i) Para $z = 0$, hay regularidad de $\Psi$ si $\delta_2 = 0$

ii) Para $z = 1$, usando nuevamente la expresión (42), se obtiene regularidad de $\Psi(Z)$ si $d - b = -p$, con $p$ un entero positivo ó 0; sea, si:

$$\ell = \omega + p$$ (45)

La razon es la siguiente: la potencia de $(1 - Z)$ que aparece en (42) es $(1 - Z)^{(\omega - k)}$, lo cual implica que, en (41), la potencia de $(1 - Z)$ que es factor del primer término de (42) es $(1 - Z)^{\frac{1}{2}(k - \omega)}$ y la que es factor de 2o. término de (42) es $(1 - Z)^{\frac{1}{2}(\omega - k)}$; con la segunda de estas potencias no hay problema de regularidad en $Z = 1$, pues $\omega - k > 0$ sin embargo, ya que $k - \omega < 0$, se obtiene regularidad de $\Psi(Z)$ si y sólo si el primer término en la ec. (42) se anula, si y sólo si $(d - a)$ ó $(d - b)$ son enteros negativos ó 0.

Caso 3

$k < -\omega$

i) Para $Z = 0$, la regularidad de $\Psi(Z)$ implica $\delta_1 = 0$.

ii) Para $Z = 1$, hay regularidad de $\Psi(Z)$ si:

$$\ell = p - k$$ (46)

El resultado (45) se obtiene de considerar la ec. (42) para el segundo sumando del lado derecho en (41); al hacerlo, se obtiene que, en (41), la potencia de $(1 - Z)$ que es factor del primer sumando en (42) es $(1 - Z)^{\frac{1}{2}(k - \omega)}$ y la que es factor del segundo sumando es $(1 - Z)^{\frac{1}{2}(\omega - k)}$; con esta segunda potencia no hay problema de regularidad en $Z = 1$, pues $\omega - k > 0$; sin embargo, ya que $k - \omega < 0$, para obtener regularidad de $\Psi(Z)$, se debe tener que el 1er. sumando que resulta de la aplicación de (42) sea 0, lo cual se logra si y sólo si $(-\ell - k)$ ó $(\ell - k + 1)$ (ó ambas) son enteros negativos ó 0; trabajando con $(-\ell - k)$, se tiene que, si $p$ es un entero positivo ó 0, la condición de regularidad de $\Psi(Z)$ en $Z = 1$ es $-\ell - k = -p$, de la cual se obtiene la relación (45).

Usando las relaciones (43,44,45) se obtiene la siguiente gráfica de $\ell$ contra $k$:

Figura II.1:

Un exámen de la gráfica anterior indica que las funciones $\Phi (\theta, \phi) = \mbox{{\Large $\varepsilon$}}^{ik\phi} \Psi_1 (\theta)$ dan una base de representación del grupo 0(3) si y sólo si:

$$\omega = [\omega]$$ (47)

donde $[\omega]$ es el entero menor que $\omega$ más próximo a él; ésto se obtiene ya que solamente en este caso desaparece la discontinuidad de los puntos marcados en la figura: solamente en este caso, para cada valor de $\ell$ existen $(2\ell + 1)$ valores posibles [69] de $k$ ($k$ es el eigenvalor del operador $\mathcal{D}_z$, segun es evidente de las ecs. (27, 10)).

De la fig. 1, es claro que el único efecto de cambiar el valor de $\omega$ consiste en un cambio en el nivel de la línea marcada $\ell_m$. Cuando se toman valores negativos de $\omega$, el único cambio que resulta es que (44) se convierte en $\ell = p - \omega$ y que en (46) $[\omega]$ representa al entero mayor que $\omega$ más próximo a él. También es claro, de la fig. 1 y de estas últimas consideraciones, que:

$$\ell \ge \arrowvert \omega \arrowvert = \frac{\arrowvert \mbox{{\Large$\varepsilon$}} \arrowvert}{\hbar}$$ (48)

El resultado anterior implica:

$$[\ell(\ell + 1)]^\frac{1}{2} \hbar \ge \arrowvert \mbox{{\Large $\varepsilon$}} \arrowvert$$ (49)

Las expresiones (47,48) indican que el momento angular total siempre es mayor que $\arrowvert \mbox{{\Large$\varepsilon$}} \arrowvert = \arrowvert \frac{e_2 g}{c}\arrowvert$. Este resultado ya fué mencionado en la sección I.B, en relación con su análogo clásico (ecs. (11,12, 12-a), sección I.B).