Grupo de simetría cuántico del problema

El problema de la simetría cuántica del Hamiltoniano de la ec. (3) (seccion II.B) es bien conocido [12,13], por lo cual la discusión se limita aquí a dar un método (tal vez el más corto) de obtener el grupo de simetría para el mismo.

En coordenadas polares, la ecuación (1-d) de la sección I.C tienen el análogo cuántico [12]:

$$\mathcal{H}_2 = \frac{P_\rho^2}{2m} + \frac{\mathcal{D}^2}{... ...frac{\varepsilon^2}{2m}\; \Big(\frac{1}{\rho^2}\Big) + e_2 V$$ (1)

En la ec. (1), $P_\rho$ representa al operador asociado al $P_\rho$ clásico en la representación de coordenadas.

Definiendo, en analogía con el caso clásico, los operadores:

$$\overline{\mathcal{D}} = \overline{\rho} \times \left(\over... ...frac{e_2}{c} \overline{A}\right) - \varepsilon \widehat{\rho}$$ (2)

$$\overline{\mathcal{R}}_\varepsilon = (-2mE)^{\frac{-1}{2}} ... ...s \overline{\mathcal{D}}) - me_1 e_2 \widehat{\rho}\right]$$ (3)

se demuestra que conmutan con el Hamiltoniano del problema: representan constantes del movimiento. $\overline{\mathcal{D}}$ es el análogo cuántico del vector $\overline{D}$ definido en la ec. (123), sección I.C; $\overline{\mathcal{R}}_\varepsilon$ lo es del vector definido por la ec. (171), sección I.C. En cuanto al operador $\overline{\mathcal{R}}$, hay que aclarar que la $E$ que aparece en su definición representa realmente un eigenvalor de la energía: para cada eigenvalor existe un operador $\overline{\mathcal{R}}_\varepsilon$, el cual actúa tan sólo en el subespacio del espacio de Hilbert de las eigenfunciones del Hamiltoniano, tal que todas las funciones de onda que lo forman pertenecen al mismo eigenvalor $E$; esta consideración es análoga a la que se hace en el tratamiento de Pauli del problema cuántico del átomo de Hidrógeno [41].

Que $\overline{\mathcal{D}}$ y $\overline{\mathcal{R}}$ conmutan con el Hamiltoniano puede demostrarse usando la ec. (1) o la ec. (3) de la sección II.B; en ambos casos, la demostración es larga. Se ahorra un poco de trabajo tomando ventaja del hecho de que, para cualquier función de la magnitud del radio $(\rho$, $\mbox{f} = \mbox{f}(\rho)$, se tiene que:

$$[\overline{\mathcal{D}}, \mbox{f}(\rho)]= 0$$ (4)

Esto implica que $\overline{\mathcal{D}}$ es constante del movimiento independientemente del potencial que se use en el Hamiltoniano, siempre que sea función sólo de $\rho$; este resultado ya fue anotado en su versión clásica en la sección I.B. Como se vió en la sección II.C, la cuantización de $\frac{\varepsilon}{\hbar}$ y $k$ se basa en que el operador $\overline{\mathcal{D}}$ es una constante del movimiento; el hecho de que la cons tancia de $\overline{\mathcal{D}}$ sea independiente del potencial escalar usado, indica que dicha cuantización es un fenómeno general que depende tan sólo del ``potencial vectorial" (de interacción magnética) empleado.

Es un problema de álgebra demostrar las siguientes relaciones de conmutación entre los componentes de $\overline{\mathcal{D}}$ y $\overline{\mathcal{R}}_\varepsilon$:

$$[\mathcal{D}_\ell, \mathcal{D}_j]= i \hbar \mbox{{\Large $\varepsilon$}}_{\ell j k} \mathcal{D}_k$$ (5)

$$[\mathcal{R}_{E_\ell}, \mathcal{R}_{ E_j}]= i \hbar \mbox{{\Large$\varepsilon$}}_{\ell j k} \mathcal{D}_k$$ (6)

$$[\mathcal{D}_\ell, \mathcal{R}_{E_j}]= i \hbar \mbox{{\Large $\varepsilon$}}_{\ell j k} \mathcal{R}_{E_k}$$ (7)

Aparte del factor $i \hbar$, estas relaciones de conmutación son idénticas a las de paréntesis de Poisson de las componentes de las cantidades clásicas $\overline{\mathcal{D}}$ y $\overline{\mathcal{R}}$ (ecs. (178,179,180), sección I.C). Indican las relaciones (5,6,7), entonces [13], que $\overline{\mathcal{D}}_1, \overline{\mathcal{D}}_2, \overline{\mathcal{D}}_3,... ...hcal{R}}_{E_ 1}, \overline{\mathcal{R}}_{E_ 2}, \overline{\mathcal{R}}_{E_3}$ son generadores del grupo $O(4)$. O sea, igual que en el caso clásico, $O(4)$ es el grupo de simetría del problema.