Basados en la teoría car-following

La teoría car-following asume una relación lineal entre la (re)acción y el estímulo:

acción = sensibilidad $\cdot$ estímulo.

El estímulo podría, por ejemplo, ser la distancia hacia el auto de adelante, o la diferencia de las velocidades. Una de las primeras propuestas fue

$$v_i (t + \tau) \alpha \Delta x_i (t),$$ (2.3)

donde $v_i$ es la velocidad del i-ésimo auto en una cadena, $\tau$ es el tiempo necesario para la adaptación (este tiempo es más grande que el tiempo de reacción), y $\Delta x$ es la distancia hacia el siguiente auto adelante. La mayoría de las teorías tratan a los vehículos como puntos. Especialmente en épocas recientes, esta aproximación a brindado nuevos resultados.

Derivando la ecuación 2.3 con respecto al tiempo nos da

$a_i (t + \tau ) \alpha \Delta v_i (t)$ ,

donde $a$ es la aceleración de $i$ y $\Delta v$ es la diferencia de velocidad con respecto al siguiente auto de adelante. Una generalización tomando en cuenta que la sensibilidad depende de la distancia y de la velocidad es

$$a_i (t + \tau) = c_1 \cdot \frac{[v_i (t)]^m}{[\Delta x_i (t)]^l} \cdot \Delta v_i (t),$$ (2.4)

donde $l$ y $m$ son números enteros. Esta ecuación ha sido analizada en gran detalle en los 1960's, por ejemplo con respecto a su estabilidad para un car-following sencillo o para una cadena infinitamente larga de autos. Uno puede derivar las relaciones velocidad-densidad y por consiguiente flujo-densidad desde la ecuación 2.4.

En cualquier caso, la ecuación 2.4 es problemática para la estimación numérica. Cuando $\Delta v$ es cero, la ecuación permite una distancia arbitrariamente pequeña hacia el auto de adelante a la vez que permite una velocidad muy alta. En la teoría, esto nunca pasa en tanto que uno empiece desde condiciones iniciales realistas, pero debido a la imprecisión númerica de las simulaciones tales situaciones pueden ocurrir.

Un modelo basado en la teoría car-following es el modelo de velocidad óptima (OVM). La ecuación de aceleración del modelo de velocidad óptima es:

$$\dot{v} = \alpha \cdot (V(\Delta x)-v),$$ (2.5)

donde $V(\Delta x)$ es una función cuyas características son $V(\Delta x) \rightarrow v_{max}$ si $\Delta x \rightarrow \infty$ y $V(\Delta x) = 0$ a cierta distancia de $\Delta x$. Este modelo ha sido analizado en gran detalle en [2]. Para pequeñas densidades solamente existe una solución homogénea, donde todos los autos se conducen con la misma velocidad. En una cierta densidad $\rho_{l1}$, esta solución homogénea se hace linealmente inestable y es cambiada por una solución donde el sistema tiene varios atascamientos que son separados por regiones de libre flujo. La densidad $\rho_{out}$ de tales atascamientos es más pequeña que $\rho_{l1}$, y por esta razón una alteración bastante grande puede mover la intensidad del tránsito desde un régimen de tránsito ligero a un régimen de tránsito pesado para densidades abajo de $\rho_{l1}$ (pero más grandes que $\rho_{out}$).

Este modelo es estructuralmente estable, en el sentido de que pequeños cambios en la ecuación del modelo no cambian su comportamiento general. Por ejemplo, la introducción explícita de tiempo de retardo en la ecuación 2.5 da

$$\dot{v}(t) = \alpha [V(\Delta x(t - \tau))-v(t)].$$ (2.6)

Aunque el retardo cambia el esquema microscópico en el sentido de que cambia el punto fijo estable en $v = V(\Delta x)$ para un cierto rango de velocidades, el comportamiento macroscópico del modelo no cambia mucho, como se ha indicado por simulaciones numéricas. En general, este modelo tiene la desventaja de que no es completamente libre de choques, un problema que se agrava cuando se utiliza tiempo de retardo y este despliega aceleraciones muy grandes.

Otro enfoque car-following se basa en observaciones psicológicas y fisiológicas. Wiedemann [47] repasa este tipo de observaciones antes de describir una simulación microscópica del modelo car-following.

Wiedemann considera varios aspectos, uno de ellos es que la resolución angular del ojo humano es limitada. Aún cuando un humano puede detectar a un auto que está acercándose, este puede estimar su velocidad solamente cuando el auto se hace notablemente grande en su campo de visión, por ejemplo, cuando el ángulo entre las partes izquierda y derecha del auto se incrementan. Utilizando argumentos geométricos, uno puede darse cuenta que este umbral de observabilidad es proporcional a la diferencia de velocidad, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

$${\rm umbral} \hspace{1mm} \alpha \frac{\Delta v}{\Delta x^2} .$$ (2.7)

Note que esto es similar a la ecuación 2.4 del modelo matemático car-following con $l = 2$ y $m = 0$.

De esta manera, después de cruzar el umbral, la disminución de la velocidad o el frenado se ajusta con la meta de alcanzar la velocidad del auto de enfrente junto con un cierto espacio deseado. Medidas consistentes con el argumento fisiológico indican que el umbral de reacción es independiente de ciertas velocidades. De esta manera, en algunas ocasiones el frenar de emergencia puede ser necesario.

Además, la reacción humana para frenar usualmente no es muy precisa, lo que introduce un elemento altamente estocástico en el modelo car following.

Resultados más precisos podrían obtenerse utilizando la psicología ecológica. La psicología ecológica trata de encontrar principios generales de cómo los organismos, incluyendo humanos, interactúan con su ambiente. Las percepciones visuales ligan al perceptor con su ambiente vía un campo de flujo óptico, el cual provee la información visual relevante de una determinada acción.

En el contexto car-following, el concepto ``tiempo de contacto" es relevante. El tiempo de contacto ha probado ser un descriptor que informa al perceptor acerca del movimiento necesario dada una meta. Esta meta podría ser, por ejemplo, arribar tranquilamente a una posición car- following deseada.