Polinomios de Bernstein

McIntosh hace notar la utilidad de los polinomios de Bernstein para calcular los polinomios de la teoría del campo promedio en [McI90].

Sea una función $f(x)$ definida en el intervalo cerrado $[0,1]$, entonces la expresión:

$$B_{n}(x) = B_{n}^{f} (x) = \sum_{v=0}^{n} f \left( \frac{v}{n} \right) \left (\begin{array}{c} n \\ v \end{array} \right ) x^{v} (1-x)^{n-v}$$ (2)

es llamado el Polinomio de Bernstein de orden $n$ de la función $f(x)$. $B_{n}(x)$ es un polinomio en $x$ de grado $\leq n$. El polinomio $B_{n}(x)$ sería introducido por S. Bernstein para dar una demostración de la aproximación del teorema de Weierstrass [Lor53].

Los polinomios de Bernstein están conectados con la teoría de la probabilidad, con problemas de momentos y con la teoría de sumas en series divergentes. Un problema complejo e interesante que no ha sido completamente resuelto, concierne a los polinomios de Bernstein en funciones analíticas.

La expresión:

$$p_{v} = p_{n,v}(x) = \left (\begin{array}{c} n \\ v \end{array} \right ) x^{v} (1-x)^{n-v}$$ (3)

contenida en la Ecuación 2, es la binomial o las probabilidades de Newton conocidas en la teoría de la probabilidad. Si $0 \leq x \leq 1$ es la probabilidad de un evento $E$, entonces $p_{n,v}(x)$ es la probabilidad de que $E$ debe ocurrir exactamente $v$ veces en $n$ intentos independientes.