Modelos similares a ``The Game of Life'' en tres dimensiones

Los autómatas celulares en tres dimensiones han sido ampliamente analizados por Bays en [Bays87], [Bays88a], [Bays88b], [Bays90], [Bays91], [Bays92] y [Bays94]. Su estudio se enfoca en encontrar reglas de evolución en tres dimensiones que tengan comportamientos similares a Life en el espacio tridimensional. Varios de sus resultados son de tipo cuantitativo, basados en la simulación de varias reglas de evolución en pequeños espacios tridimensionales para buscar estructuras que sean similares a Life.

De esta manera ha logrado encontrar varias reglas de evolución que presentan características similares a Life en autómatas celulares de tres dimensiones entre otros resultados importantes.

Bays presenta varias reglas de evolución en tres dimensiones que cumplen algunas condiciones necesarias con comportamientos similares a Life, como las reglas de evolución $R(5767)$, $R(5777)$, $R(5566)$, $R(5755)$, $R(4656)$, $R(4655)$, $R(6767)$, $R(4567)$, $R(6766)$, $R(5655)$, $R(5877)$, $R(4666)$, $R(4566)$, $R(3455)$, $R(3566)$, entre otras.

Analizando el comportamiento de cada una de estas reglas en tres dimensiones hemos considerado presentar la regla $R(5,7,6,6)$, porque esta regla de evolución presenta muchas estructuras análogas a Life en el espacio tridimensional y la regla de evolución $R(4,5,5,5)$ porque muestra comportamientos muy interesantes pero que no son análogos a Life.

La regla de evolución $R(5,7,6,6)$ puede reproducir algunos objetos de Life en el espacio tridimensional, conservando su simetría a través del tiempo; Bays reportó esta regla en [Bays87] mostrando algunas de las estructuras análogas de dos dimensiones a tres dimensiones, entre ellas el glider de cinco células como se ilustra en la Figura 9. En la actualidad no se ha reportado el descubrimiento de un glider gun en tres dimensiones.

Figura 9: Gliders en tres dimensiones

El polinomio del campo promedio para la regla de evolución $R(5,7,6,6)$ se representa como:

$$p_{t+1}=65780p_{t}^{6}q_{t}^{21}+657800p_{t}^{8}q_{t}^{19}+230230p_{t}^{6}q_{t}^{21}$$ (11)

simplificando:

$$p_{t+1}=296010p_{t}^{6}q_{t}^{21}+657800p_{t}^{8}q_{t}^{19}.$$ (12)

En la Figura 10 se gráfica el polinomio de la Ecuación 12.

Figura 10: Curva de probabilidad de la regla $R(5,7,6,6)$

La curva de probabilidad muestra un rango de células vivas más estrecho que el de Life en el eje $q$, esto es porque el número de células vivas es menor al número de células muertas en una vecindad de Moore, además la curva es tangencial a la diagonal. McIntosh en [McI90] menciona los diferentes tipos de comportamientos que pueden tener las curvas de probabilidad, identificando que las reglas con comportamientos complejos podrían ser aquellas reglas de evolución que tengan curvas de probabilidad tangenciales a la diagonal.

La Figura 11 muestra el comportamiento de los estados en la segunda, tercera, cuarta y quinta generación respectivamente. Al igual que Life las curvas de probabilidad se van acotando sobre el eje $q$ rápidamente en cada generación, esto es fácil de comprobar, si tomamos una configuración aleatoria al evolucionar el autómata la cantidad de 1's decrece muy rápido. Una característica importante es la existencia de un punto fijo inestable aproximandamente en 0.2 que garantiza un comportamiento de densidades no predecibles en el espacio de evoluciones, donde la densidad puede seguir igual, crecer o disminuir rápidamente en pocas generaciones.

Figura 11: Curvas de probabilidad de la regla $R(5,7,6,6)$

La regla de evolución $R(4,5,5,5)$ estudiada por Bays en [Bays87], muestra estructuras muy interesantes que son independientes de las que produce la regla $R(5,6,7,7)$, sus gliders y configuraciones periódicas fijas son de construcción diferente y se producen de manera natural, además algunas de ellas no son análogas en dos dimensiones.

Experimentando con diferentes configuraciones aleatorias el comportamiento de las células es similar al de la regla de evolución $R(5,6,7,7)$, se estaciona rápidamente pero no desaparece por completo porque produce muchas estructuras periódicas fijas.

La regla de evolución $R(4,5,5,5)$ puede ser vista como la sucesora directa de Life, si se suma la ordenada $z$ a la regla de evolución $R(2+2,3+2,3+2,3+2)$, lo que produce la regla de evolución en tres dimensiones $R(4,5,5,5)$. El polinomio del campo promedio queda como:

$$p_{t+1}=14950p_{t}^{5}q_{t}^{22}+65780p_{t}^{6}q_{t}^{21}+65780p_{t}^{5}q_{t}^{22}$$ (13)

simplicando:

$$p_{t+1}=80730p_{t}^{5}q_{t}^{22}+65780p_{t}^{6}q_{t}^{21}.$$ (14)

Los términos del polinomio de la Ecuación 14 son análogos a los de la Ecuación 9 que representa a Life.

Figura 12: Curva de probabilidad de la regla $R(4,5,5,5)$

La gráfica de la Figura 12 muestra un acotamiento de la curva de probabilidad en el eje $q$, existe un punto fijo inestable aproximadamente en 0.1 y un punto fijo estable en aproximadamente 0.22, la primera diferencia con respecto a Life es la existencia de un punto fijo estable aproximadamente en 0.23 que no existe en Life.

La curva muestra que la probabilidad de tener 1's en el espacio de evoluciones en la siguiente generación no es tan alto como la que representa Life, esto se debe porque la ordenada $z$ en el espacio tridimensional implica más vecinos en la vecindad y menos células vivas, consecuentemente la densidad de 1's es más baja que la de Life, tal como se mostró para la regla $R(5,7,6,6)$. Se puede notar que la esta densidad promedio en tres dimensiones es menor que la que existe en dos dimensiones.

Figura 13: Curvas de probabilidad de la regla $R(4,5,5,5)$

La Figura 13 muestra las curvas de probabilidad de los polinomios del campo promedio para la segunda, tercera, cuarta y quinta generación respectivamente. Existen puntos fijos estables tangenciales a la diagonal y puntos fijos inestables alternandose de generación en generación, pares e impares a partir de la segunda generación. Por otra parte varios puntos máximos y mínimos por generación, lo que implica inestabilidad en la densidad promedio de células vivas que se encuentran en el espacio de evoluciones, también la cantidad de estos puntos máximos y mínimos van aumentando conforme se calculan más generaciones.

Es interesante ver que esta regla de evolución aunque no tiene una densidad promedio en su curva de probabilidad y tiene puntos atractores y repulsores, presenta características muy similares a Life en el espacio de evoluciones. Bays reporta esta regla en [Bays87] ilustrando algunos gliders que ha descubierto y configuraciones muy interesantes que la regla de evolución produce en el espacio de evoluciones.

Las curvas de probabilidad de la Figura 13 al igual que la regla de evolución $R(5,7,6,6)$ y la regla Life van acontando la densidad promedio en el eje $q$ en cada generación, pero la diferencia principal que tiene con respecto a Life es la existencia de varios puntos máximos y mínimos, por otra parte la existencia de puntos fijos estables e inestables se alternan de generación en generación. Por lo tanto esta regla de evolución aunque puede soportar comportamientos complejos no muestra una densidad promedio para un largo tiempo como las reglas de evolución $R(5,7,6,6)$ y Life.

Bays presenta otras reglas de evolución en [Bays88b], [Bays91] y [Bays92] que muestran algunos gliders y configuraciones fijas, además estas reglas de evolución no cubren todo el espacio de evoluciones, ni desaparecen rápidamente. Finalmente presentamos las gráficas de probabilidad de las reglas de evolución $R(5,6,5,5)$, $R(4,6,3,3)$ y $R(6,8,5,5)$. Encontrando diferencias importantes en cada una de sus curvas de probabilidad.

Figura 14: Curvas de probabilidad de la regla $R(5,6,5,5)$ 1a, 2a, 3a y 4a generación

Figura 15: Curvas de probabilidad de la regla $R(4,6,3,3)$ 1a, 2a, 3a y 4a generación

Figura 16: Curvas de probabilidad de la regla $R(6,8,5,5)$ 1a, 2a, 3a y 4a generación