Propiedades de las fases

Tomando el enfoque de McIntosh el espacio de evoluciones de la regla 110 puede ser cubierto con triángulos de diferentes tamaños T$_n$, donde $n$ indica el tamaño del triángulo equilatero para toda $n \geq 1$. El cubrimiento con estos mosaicos es bien definido por la regla de evolución, entonces agrupaciones de estos mosaicos permiten diferentes tipos de cubrimientos [GS82].

En el espacio de evoluciones pueden identificarse dos tipos de triángulos $\alpha$ y $\beta$, el ether esta constituido por el triángulo T3-$\beta$ y este mosaico es el que predomina a lo largo del tiempo en el espacio de evoluciones. La densidad favorecida para tener este fondo periódico es de aproximadamente 0.6.

El ether define propiedades importantes para toda estructura que existe en el espacio de evoluciones, las cuatro fases del ether son producto del T3-$\beta$ como se ilustra en la Figura 1.

Figura 1: Fases del ether

Se tienen las cuatro fases periódicas del ether: $11111000100110 - e(f1)$, $10001001101111 - e(f2)$, $10011011111000 - e(f3)$ y $10111110001001 - e(f4)$ (donde $e(f1)$ indica ether en fase uno). Nótese que cualquiera de estas cuatro fases es una permutación de la misma cadena, el período del ether es de 14 células a la derecha en 7 generaciones.

Una manera elegante de calcular estructuras periódicas es utilizando el diagrama de de Bruijn [Mc99], la secuencia que sigue un ciclo del diagrama describe la expresión calculada. Sin embargo una limitante importante se encuentra cuando se desean calcular estructuras con períodos grandes, ya que el diagrama crece exponencialmente.

Figura 2: Dos tipos de pendientes producidas por el ether

El ether tiene dos tipos de pendientes que determinan la velocidad máxima negativa y positiva que puede tener una estructura en el espacio de evoluciones como se ilustra en la Figura 2. Por otra parte el desplazamiento de estas pendientes siempre es de 2 células y esta se conservará para toda estructura que exista. Para obtener los choques entre gliders se necesitan identificar los puntos de contacto, es decir, donde la estructura puede interactuar con otras.

Estos puntos de contacto van a estar determinados por el número de margenes pares-$mp$ e impares-$mi$ que tenga un glider en particular. Entonces los puntos de contacto para un glider $g$ estan determinados por el número de margenes pares de su lado izquierdo y por el número de margenes impares de su lado derecho, ambos margenes tienen una correspondencia biyectiva y la existencia de un punto de contacto en un lado implica la existencia de un punto que no es de contacto en su contraparte. El análisis de estas propiedades para cada uno de los gliders pueden consultarse en [Jua01] y [Jua02].

Para identificar algún glider en particular de la regla 110, se utiliza la clasificación propuesta por Cook en [Cook99]. Por ejemplo el glider Ebar está formado por 41 mosaicos [JM01] y se desplaza con una pendiente negativa como se ilustra en la Figura 3.

Figura 3: Mosaicos y fases del glider Ebar

El glider Ebar tiene 6 margenes pares y 2 margenes impares, por lo tanto cuenta con 8 fases definidas por el ether. Los margenes pares tienen una altura de 4 células, mientras que los margenes impares tienen una altura de 3 células, en este caso los margenes $6mp$ son puntos de contacto en su lado izquierdo pero esto implica que del lado derecho el glider tiene $6mp$ puntos que no son de contacto.

Los margenes $2mi$ que se encuentran en el lado derecho son dos puntos de contacto, pero en su lado izquierdo implica dos puntos de no contacto. Se puede observar que los margenes $mp$ inducen un desplazamiento positivo y los margenes $mi$ inducen un desplazamiento negativo, entonces la velocidad de un glider $g$ puede ser calculada por la siguiente ecuación [Jua01]:

$$v_{g} = \frac{(2*mi)-(2*mp)}{(3*mi)+(4*mp)}.$$ (1)

La manera como se calcula el número de choques entre dos gliders se puede obtener como el producto de sus margenes pares $mp$ e impares $mi$, menos el producto de sus contrapartes. Sabemos que el número de choques $c$ que existen entre dos gliders $g_{i}$ y $g_{j}$ esta representada por la siguiente ecuación [JMS02]:

$$c = \vert(mp_{g_{i}} * mi_{g_{j}}) - (mp_{g_{j}} * mi_{g_{i}})\vert.$$ (2)

Un trabajo importante que trata de formalizar el número de choques entre gliders de manera general y no particular como en nuestro caso, puede ser consultado en el trabajo de Cosma Rohilla Shalizi [HSC01], donde los resultados obtenidos a través del estudio de mecánica computacional pueden ser aplicados directamente en la regla 110.

Con estas simples características se pueden determinar algunas propiedades importantes como desplazamiento, período, velocidad y número de choques posibles entre gliders. Lo interesante es que estas propiedades deben de ser capaces de conservarse en el espacio de evoluciones, sobre todo si se desea realizar un cálculo en particular, por ejemplo una descomposición que no es una estructura periódica muestra estas propiedades.

La idea central de este análisis es hacer uso de las fases en que cada uno de los gliders se pueden identificar, para esto se tuvo que describir de manera precisa la forma de cada uno de ellos, utilizando su cubrimiento de mosaicos. En algunos casos se puede ver que gliders más elaborados son vistos como productos de choques [JMS02] y [Jua02a].

Por ejemplo en el glider Ebar un glider A se anula con un glider B, despues vuelbe a chocar ahora con dos gliders A y una descomposición corta a la derecha, como se ilustra en la Figura 3.