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Ultraproductos

Sea $I\not=\emptyset$ un conjunto no-vacío. Un filtro $F$ sobre $I$ será un filtro en el álgebra booleana de las partes de $I$, $({\cal P}(I),\cup,\cap,\overline{\ },\emptyset,I)$. Sea ${\cal A}=\left(A_i\right)_{i\in I}$ una colección de conjuntos no-vacíos indicada con índices en $I$ y sea $F\subset{\cal P}(I)$ una colección de conjuntos en $I$. Denotamos por

$$\prod_{i\in I} A_i =\left\{\mbox{\bf a}=\left(a_i\right)_{i\in I}\vert\forall i\in I: a_i\in A_i\right\}$$

al producto cartesiano de los elementos en ${\cal A}$. Ahí definimos la relación siguiente:

$$\forall \mbox{\bf a}=\left(a_i\right)_{i\in I},\mbox{\bf b}=\... ...box{\bf b}\ \ \Leftrightarrow\ \ \{i\in I\vert a_i=b_i\} \in F.$$

Se tiene que si $F$ es un filtro sobre $I$, entonces $\sim_F$ es una relación de equivalencia. En efecto, supongamos que $F$ es un filtro. Como $I\in F$, para cada $\mbox{\bf a}\in\prod_{i\in I} A_i$, $\mbox{\bf a}\sim_F \mbox{\bf a}$, es decir, $\sim_F$ es reflexiva. Ahora como la igualdad en cada conjunto $A_i$ es simétrica, $\sim_F$ también lo es. Finalmente, dado que la intersección de elementos en $F$ está también en $F$, $\sim_F$ es transitiva. Si se piensa a los elementos en el filtro $F$ como ``conjuntos grandes'' entonces se puede pensar a la relación $\sim_F$ como una relación de igualdad ``casi en todas partes'' y escribiremos en ocasiones:

$$\forall \mbox{\bf a},\mbox{\bf b}\in\prod_{i\in I} A_i:\ \m... ...}(F)\ \ \Leftrightarrow\ \ \mbox{\bf a} \sim_F \mbox{\bf b}.$$ (1)

El cociente ${\cal A}/F =\left(\prod_{i\in I} A_i\right)/\sim_F$ se dice ser el PRODUCTO REDUCIDO por $F$. Si todos los conjuntos $A_i$ coinciden el producto reducido se dice ser una POTENCIA REDUCIDA. Para cada $\mbox{\bf a}\in\prod_{i\in I} A_i$ denotamos por $\pi_F(\mbox{\bf a})$ a la clase de equivalencia de $\mbox{\bf a}$ bajo la relación $\sim_F$. Ahora, supongamos que en cada conjunto $A_i$ se tiene una relación $R_i^n$ de aridad $n$. Definamos la relación $R_F^n$ en $\prod_{i\in I} A_i$ haciendo $\forall \mbox{\bf a}_1,\ldots,\mbox{\bf a}_n\in\prod_{i\in I} A_i$:

$$\left(\mbox{\bf a}_1,\ldots,\mbox{\bf a}_n\right)\in R_F^n\... ...rrow\ \ \{i\in I\vert(a_{1i},\ldots,a_{ni})\in R_i^n\}\in F.$$ (2)

Observamos que $R_F^n$ es congruente con la relación $\sim_F$, es decir:

$$\left[\forall j\leq n: \mbox{\bf a}_j\sim_F \mbox{\bf a}_j'... ...box{\bf a}_1',\ldots,\mbox{\bf a}_n'\right)\in R_F^n\right].$$ (3)

En efecto, para cada $j\leq n$ escribamos $X_j=\{i\in I\vert a_{ji} =a_{ji}'\} \in F$ y sea $Z=\{i\in I\vert(a_{1i},\ldots,a_{ni})\in R_i^n\}$. Si $Z\in F$, al ser $F$ un filtro, entonces la intersección de estos conjuntos está en $F$: $X_1\cap \cdots \cap X_n\cap Z\in F$. Evidentemente

$$X_1\cap \cdots \cap X_n\cap Z \subset \{i\in I\vert(a_{1i}',\ldots,a_{ni}')\in R_i^n\}$$

por tanto $\left(\mbox{\bf a}_1',\ldots,\mbox{\bf a}_n'\right)\in R_F^n$. Así pues, de manera más apropiada, diremos que la estructura $\left({\cal A}/F,R_F^n\right)$ es el producto reducido, por el filtro $F$, de las estructuras $\left(\left(A_i,R_i^n\right)\right)_{i\in I}$. Si $F$ es un ultrafiltro el producto reducido por $F$ se dice ser un ULTRAPRODUCTO y si todos los $A_i$ coinciden y coinciden también las relaciones $R_i^n$ entonces el ultraproducto se dice ser una ULTRAPOTENCIA.
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