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Homomorfismos

Definición 4.4   Sean $(A_1,\land_1,\lor_1,\overline{\ }^1,\mbox{\bf 1}_1,\mbox{\bf0}_1)$ y $(A_2,\land_2,\lor_2,\overline{\ }^2,\mbox{\bf 1}_2,\mbox{\bf0}_2)$ dos álgebras booleanas. Una función $f:A_1\to A_2$ es un HOMOMORFISMO DE ÁLGEBRAS BOOLEANAS si satisface las siguientes relaciones:

1. $\forall x,y\in A_1$: $f(x\lor_1 y) = f(x)\lor_2 f(y)$.
2. $\forall x,y\in A_1$: $f(x\land_1 y) = f(x)\land_2 f(y)$.
3. $\forall x\in A_1$: $\overline{f(x)}^2 = f(\overline{x}^1)$.

El conjunto $C(f)=\{x\in A_1\vert f(x)=\mbox{\bf 1}\}$ se dice ser la CORAZA de $f$ en tanto que el conjunto $N(f)=\{x\in A_1\vert f(x)=\mbox{\bf0}\}$ es el NÚCLEO de $f$.

Observación 4.5   Si $f:A_1\to A_2$ es un homomorfismo entonces su coraza $C(f)$ es un filtro y su núcleo $N(f)$ es un ideal.

Definición 4.5   Sea $F$ un filtro en un álgebra booleana $A$. Definamos la relación en $A$ siguiente:

$$x\equiv_F y\ \Leftrightarrow\ \exists a\in F:\ x\land a = y\land a.$$ (2)

Se observa inmediatamente que $\equiv_F$ es una relación de equivalencia que es además congruente con las operaciones del álgebra booleana: Si $x_1\equiv_F x_2$ e $y_1\equiv_F y_2$ entonces

$$\begin{eqnarray*} x_1\land y_1 &\equiv_F& x_2\land y_2 \\ x_1\lor y_1 &\equiv_F& x_2\lor y_2 \\ \overline{x_1} &\equiv_F& \overline{x_2} \end{eqnarray*}$$

En efecto, si $x_1\land a = x_2\land a$ y $y_1\land b = y_2\land b$, con $a,b\in F$ entonces, evidentemente:

$$\begin{eqnarray*} \left(x_1\land y_1\right) \land \left(a\land b\right) &=& \le... ...ight) &=& \left(x_2\lor y_2\right) \land \left(a\land b\right) \end{eqnarray*}$$

y también

$$\overline{x_1}\land a = \left(\overline{x_1}\land \overline{x_2}\right)\land a = \overline{x_2}\land a.$$

Así pues, el cociente $A/\equiv_F$ es también un álgebra booleana con las operaciones

$$\begin{array}{lcl} \land_c: \left(\left[x\right],\left[y\r... ...ft[x\right]}^c = \left[\overline{x}\right] %%\\ \end{array}$$ (3)

La función proyección $\pi_F:x\mapsto \left[x\right]$ es un homomorfismo. Un elemento $x\in A$ está en la coraza de $\pi_F$ si $\exists a\in F$: $x\land a=\mbox{\bf 1}\land a$. Pero, siendo $F$ un filtro, esto último es equivalente a que $x\in F$. En otras palabras, la coraza de la proyección es el filtro $F$. Un elemento $x\in A$ está en el núcleo de $\pi_F$ si $\exists a\in F$: $x\land a=\mbox{\bf0}\land a$. Pero, siendo $F$ un filtro, esto último es equivalente a que $\overline{x}\in F$. El núcleo es pues el conjunto de elementos cuyos complementos están en el filtro $F$.

Definición 4.6   Un filtro $F$ en un álgebra booleana se dice ser PRIMO si para cualesquiera dos elementos $x,y\in A$ rige la implicación siguiente:

$$x\lor y\in F\ \Rightarrow\ (x\in F)\;\mbox{\rm o }\; (y\in F).$$

La proposición siguiente proporciona diversos criterios para decidir cuándo un filtro es un ultrafiltro.

Proposición 4.3   Sea $F$ un filtro en un álgebra booleana $A$. Las siguientes condiciones son equivalentes a pares:

1. $A/\equiv_F$ consta únicamente de dos elementos $\mbox{\bf0}$ y $\mbox{\bf 1}$.
2. $F$ es un ultrafiltro.
3. $F$ es primo.
4. Para cada $x\in A$ se tiene bien que $x\in F$ o bien $\overline{x}\in F$.

Demostración
$1\Rightarrow 2$) Sea $G$ un filtro que contenga $F$. Entonces $A/\equiv_G$ es un subálgebra de $A/\equiv_F$, pues para cada $x\in A$: $\pi_F(x)\subset\pi_G(x)$. Pero como $A/\equiv_F$ es la mínima álgebra booleana, $A/\equiv_G$ ha de coincidir con ella. Por tanto $G=F$.

$2\Rightarrow 3$) Sean $x,y\in A$ tales que $x\lor y\in F$. Supongamos que $x\not\in F$. Entonces, al ser $F$ un ultrafiltro, el filtro generado por $F\cup\{x\}$ ha de ser todo $A$. Así, existe $z\in F$ tal que $z\land x=\mbox{\bf0}$. Ahora, por un lado, $z\land(x\lor y)\in F$ como inter de dos elementos en $F$, pero por otro lado:

$$z\land(x\lor y) = \left(z\land x\right)\lor \left(z\land y\right) = \mbox{\bf0} \lor \left(z\land y\right) = z\land y.$$

Vale decir, $z\land y\in F$. Por tanto, $y\in F$.

$3\Rightarrow 4$) Para cualquier $x\in A$, se tiene $x\lor\overline{x}=\mbox{\bf 1}\in F$. Al ser $F$ primo resulta la relación 4.

$4\Rightarrow 1$) Tenemos que para cada $x\in A$, $x$ está en la coraza o en el núcleo de $\pi_F$. Por tanto el álgebra cociente consta sólo de dos elementos. $\quad\Box$ Sea ${\cal B}=\left(B_n\right)_{n\in{\mathbb{N}}}$ una sucesión (numerable) de conjuntos en un álgebra booleana $A$ tal que $\forall n\in{\mathbb{N}}$: $\exists b_n=\bigwedge_{b\in B_n} b$. Se dice que un ultrafiltro $F$ PRESERVA LAS INTERSECCIONES de ${\cal B}$ si se cumple:

$$\forall n\in{\mathbb{N}}:\; \pi_F(b_n) = \bigwedge_{b\in B_n} \pi_F(b)$$ (4)

Teorema 4.2 (Lema de Tarski)   Sea ${\cal B}$ como antes. Si $x\not=\mbox{\bf0}$ es un elemento no nulo en el álgebra booleana $A$, entonces existe un ultrafiltro $F$ que contiene a $x$ y preserva las intersecciones en ${\cal B}$.

Demostración
Construiremos una sucesión $C=\left(c_n\right)_{n\in{\mathbb{N}}}$ tal que para cada $n\in{\mathbb{N}}$:

• $c_n\in B_n$, y
• $\{x\}\cup\{b_m\lor \overline{c_m}\vert m\in[\![0,n]\!]\}$ tiene la propiedad de intersección finita.

Inicialmente, para $n=0$, observemos que existe un $b\in B_0$ tal que $x\land (b_0\lor \overline{b})\not =\mbox{\bf0}$. En efecto, si se supusiese lo contrario entonces para cada $b\in B_0$:

$$\mbox{\bf0} = x\land (b_0\lor \overline{b}) = \left(x\land b_0\right) \lor \left(x\land \overline{b}\right)$$

y por tanto $x\land b_0=\mbox{\bf0}=x\land \overline{b}$. La segunda igualdad implica $x\leq b$, para todo $b\in B_0$. En consecuencia, $x\leq b_0$, pues $b_0$ es el ínfimo de los elementos en $B_0$. Así pues: $x = x\land b_0=\mbox{\bf0}$ lo cual contradice la hipótesis convenida para $x$. Elijamos pues $c_0\in B_0$ tal que $x\land (b_0\lor \overline{c_0})\not =\mbox{\bf0}$. Ahora, sea $n>0$ y supongamos que se ha elegido $\{c_0,\ldots,c_{n-1}\}$ con las propiedades requeridas. Hagamos $x_n = x \land \bigwedge_{i=0}^{n-1} \left(b_i\lor \overline{c_i}\right)$. Por la propiedad de intersección finita, $x_n\not=\mbox{\bf0}$. Igual que antes, observemos que existe un $b\in B_n$ tal que $x_n\land (b_n\lor \overline{b})\not =\mbox{\bf0}$. En efecto, si se supusiese lo contrario entonces para cada $b\in B_n$:

$$\mbox{\bf0} = x_n\land (b_n\lor \overline{b}) = \left(x_n\land b_n\right) \lor \left(x_n\land \overline{b}\right)$$

y por tanto $x_n\land b_n=\mbox{\bf0}=x_n\land \overline{b}$. La segunda igualdad implica $x_n\leq b$, para todo $b\in B_n$. En consecuencia, $x_n\leq b_n$, pues $b_n$ es el ínfimo de los elementos en $B_n$. Así pues: $x_n = x_n\land b_n=\mbox{\bf0}$ lo cual contradice la propiedad exigida para $x_n$. Elijamos pues $c_n\in B_n$ tal que $x_n\land (b_n\lor \overline{c_n})\not =\mbox{\bf0}$. De esta manera, el conjunto $\{x\}\cup\{b_n\lor \overline{c_n}\vert n\in{\mathbb{N}}\}$ tiene la propiedad de intersección finita. Sea $F$ un ultrafiltro que lo contenga. $F$ contiene pues a $x$. Veamos que preserva las intersecciones de ${\cal B}$. Como cada elemento de la forma $b_n\lor \overline{c_n}$ está en $F$ se tiene

$$\mbox{\bf 1} = \pi_F\left(b_n\lor \overline{c_n}\right) = \pi_F\left(b_n\right) \lor \pi_F\left(\overline{c_n}\right)$$

y en consecuencia $\pi_F\left(c_n\right) \leq \pi_F\left(b_n\right)$. Como $c_n\in B_n$, esta última desigualdad entraña:

$$\bigwedge_{b\in B_n}\pi_F\left(b\right) \leq \pi_F\left(b_n\right).$$ (5)

Pero, por otro lado, $b_n\leq b$ para cada $b\in B_n$. Al ser $\pi_F$ un homomorfismo, $\pi_F\left(b_n\right)\leq \pi_F\left(b\right)$ y por tanto

$$\pi_F\left(b_n\right) \leq \bigwedge_{b\in B_n}\pi_F\left(b\right).$$ (6)

De las ecuaciones (5) y (6) obtenemos que $F$, en efecto, preserva las intersecciones de ${\cal B}$. $\quad\Box$
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