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Definición 4.4
Sean
![$(A_1,\land_1,\lor_1,\overline{\ }^1,\mbox{\bf 1}_1,\mbox{\bf0}_1)$](img309.png)
y
![$(A_2,\land_2,\lor_2,\overline{\ }^2,\mbox{\bf 1}_2,\mbox{\bf0}_2)$](img310.png)
dos álgebras booleanas. Una función
![$f:A_1\to A_2$](img311.png)
es un
HOMOMORFISMO DE ÁLGEBRAS BOOLEANAS si satisface las siguientes relaciones:
-
:
.
-
:
.
-
:
.
El conjunto
![$C(f)=\{x\in A_1\vert f(x)=\mbox{\bf 1}\}$](img317.png)
se dice ser la
CORAZA de
![$f$](img318.png)
en tanto que el conjunto
![$N(f)=\{x\in A_1\vert f(x)=\mbox{\bf0}\}$](img319.png)
es el
NÚCLEO de
![$f$](img318.png)
.
Observación 4.5
Si
![$f:A_1\to A_2$](img311.png)
es un homomorfismo entonces su coraza
![$C(f)$](img320.png)
es un filtro y su núcleo
![$N(f)$](img321.png)
es un ideal.
Definición 4.5
Sea
![$F$](img240.png)
un filtro en un álgebra booleana
![$A$](img6.png)
. Definamos la relación en
![$A$](img6.png)
siguiente:
![\begin{displaymath}
x\equiv_F y\ \Leftrightarrow\ \exists a\in F:\ x\land a = y\land a.
\end{displaymath}](img322.png) |
(2) |
Se observa inmediatamente que
es una relación de equivalencia que es además congruente con las operaciones del álgebra booleana: Si
e
entonces
En efecto, si
y
, con
entonces, evidentemente:
y también
Así pues, el cociente
es también un álgebra booleana con las operaciones
![\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
\land_c: \left(\left[x\right],\left[y\r...
...ft[x\right]}^c = \left[\overline{x}\right] %%\\
\end{array}
\end{displaymath}](img333.png) |
(3) |
La función proyección
es un homomorfismo. Un elemento
está en la coraza de
si
:
. Pero, siendo
un filtro, esto último es equivalente a que
. En otras palabras, la coraza de la proyección es el filtro
. Un elemento
está en el núcleo de
si
:
. Pero, siendo
un filtro, esto último es equivalente a que
. El núcleo es pues el conjunto de elementos cuyos complementos están en el filtro
.
Definición 4.6
Un filtro
![$F$](img240.png)
en un álgebra booleana se dice ser
PRIMO si para cualesquiera dos elementos
![$x,y\in A$](img83.png)
rige la implicación siguiente:
La proposición siguiente proporciona diversos criterios para decidir cuándo un filtro es un ultrafiltro.
Demostración
) Sea
un filtro que contenga
. Entonces
es un subálgebra de
, pues para cada
:
. Pero como
es la mínima álgebra booleana,
ha de coincidir con ella. Por tanto
.
) Sean
tales que
. Supongamos que
. Entonces, al ser
un ultrafiltro, el filtro generado por
ha de ser todo
. Así, existe
tal que
. Ahora, por un lado,
como inter de dos elementos en
, pero por otro lado:
Vale decir,
. Por tanto,
.
) Para cualquier
, se tiene
. Al ser
primo resulta la relación 4.
) Tenemos que para cada
,
está en la coraza o en el núcleo de
. Por tanto el álgebra cociente consta sólo de dos elementos.
Sea
una sucesión (numerable) de conjuntos en un álgebra booleana
tal que
:
. Se dice que un ultrafiltro
PRESERVA LAS INTERSECCIONES de
si se cumple:
![\begin{displaymath}
\forall n\in{\mathbb{N}}:\; \pi_F(b_n) = \bigwedge_{b\in B_n} \pi_F(b)
\end{displaymath}](img362.png) |
(4) |
Teorema 4.2 (Lema de Tarski)
Sea
![${\cal B}$](img181.png)
como antes. Si
![$x\not=\mbox{\bf0}$](img295.png)
es un elemento no nulo en el álgebra booleana
![$A$](img6.png)
, entonces existe un ultrafiltro
![$F$](img240.png)
que contiene a
![$x$](img48.png)
y preserva las intersecciones en
![${\cal B}$](img181.png)
.
Demostración
Construiremos una sucesión
tal que para cada
:
, y
-
tiene la propiedad de intersección finita.
Inicialmente, para
, observemos que existe un
tal que
. En efecto, si se supusiese lo contrario entonces para cada
:
y por tanto
. La segunda igualdad implica
, para todo
. En consecuencia,
, pues
es el ínfimo de los elementos en
. Así pues:
lo cual contradice la hipótesis convenida para
. Elijamos pues
tal que
.
Ahora, sea
y supongamos que se ha elegido
con las propiedades requeridas. Hagamos
. Por la propiedad de intersección finita,
. Igual que antes, observemos que existe un
tal que
. En efecto, si se supusiese lo contrario entonces para cada
:
y por tanto
. La segunda igualdad implica
, para todo
. En consecuencia,
, pues
es el ínfimo de los elementos en
. Así pues:
lo cual contradice la propiedad exigida para
. Elijamos pues
tal que
.
De esta manera, el conjunto
tiene la propiedad de intersección finita. Sea
un ultrafiltro que lo contenga.
contiene pues a
. Veamos que preserva las intersecciones de
.
Como cada elemento de la forma
está en
se tiene
y en consecuencia
. Como
, esta última desigualdad entraña:
![\begin{displaymath}
\bigwedge_{b\in B_n}\pi_F\left(b\right) \leq \pi_F\left(b_n\right).
\end{displaymath}](img397.png) |
(5) |
Pero, por otro lado,
para cada
. Al ser
un homomorfismo,
y por tanto
![\begin{displaymath}
\pi_F\left(b_n\right) \leq \bigwedge_{b\in B_n}\pi_F\left(b\right).
\end{displaymath}](img400.png) |
(6) |
De las ecuaciones (5) y (6) obtenemos que
, en efecto, preserva las intersecciones de
.
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Guillermo Morales-Luna
2004-07-27