Posterior: Programas Arriba: Estructuras algebraicas básicas Anterior: Lecturas recomendadas

Ejercicios

1. Sean $a,b$ y $c$ tres elementos en un retículo $(A,\leq)$. Muestre que vale la siguiente implicación:

$$a\leq b \; \Rightarrow \; a\lor (b\land c)\leq b \land(a\lor c).$$

2. Sean $a,b$ dos elementos en un retículo $(A,\leq)$. Muestre que vale la siguiente equivalencia:

$$(a\land b< a\;\&\; a\land b< b) \; \Leftrightarrow \; (a\not\leq b \;\&\; b\not\leq a).$$

3. Sea $(A,\land,\lor)$ un sistema algebraico donde las operaciones binarias $\land,\lor:A^2\rightarrow A$ satisfacen las leyes de absorción. Muestre que necesariamente han de ser idempotentes.

4. Dibuje el retículo formado por los divisores de 240.

5. Sea $(A,\leq)$ un conjunto ordenado finito. Muestre que las siguientes dos proposiciones son equivalentes a pares:

1. $\forall\;x,y \in A\quad\exists\;x\lor y =\mbox{\rm Sup}\{x,y\}.$
2. $A$ posee un elemento máximo.

En la prueba de la equivalencia anterior, ¿es posible omitir la hipótesis de que $A$ es finito?

6. Un retículo $(A,\leq)$ se dice ser modular si $\forall\;x,y,z\in A$ rige la implicación siguiente:

$$x\leq z \; \Rightarrow \; x\lor (y\land z)= (x\lor y) \land z.$$

Encuentre un retículo con cinco elementos que no sea modular.

7. Muestre que para cualesquiera cuatro elementos $a,b,c$ y $d$ en un retículo $A$ cualquiera ha de cumplirse la desigualdad siguiente:

$$(a\land b)\lor (c\land d)\leq (a\lor c) \land(b\lor d).$$

8. Dibuje cinco retículos (esencialmente) distintos con menos de cinco elementos estrictamente. ¿Puede encontrar alguno más?

9. Sea $A$ un retículo con más de 6 elementos. Muestre que existe un subconjunto

$$\mbox{\rm\it Seis}=\{a_0,\ldots,a_5\}\subset A$$

de 6 elementos de $A$ que forma un subretículo de $A$, es decir, tal que

$$\forall\;i,j=0,\ldots,5:\quad a_i\lor a_j,a_i\land a_j\in \mbox{\rm\it Seis}.$$

10. Sea $A$ un retículo con $n$ elementos: $0,a_1,\ldots,a_{n-2},1$; en el que $a_1,\ldots,a_{n-2}$ son $n-2$ sucesores de $0$ y, naturalmente, antecesores también de $1$. Muestre que $A$ es modular.

11. Sean $A=(A,\lor_A,\land_A,0_A,1_A)$ y $B=(B,\lor_B,\land_B,0_B,1_B)$ dos retículos. El retículo producto es $C=(C,\lor_C,\land_C,0_C,1_C)$, donde

$$C=A\times B\mbox{\rm : producto cartesiano de $A$ y $B$}$$

y

$$\begin{eqnarray*} (a_1,b_1)\lor_C(a_2,b_2)&=&(a_1\lor_A a_2,b_1\lor_B b_2),\\ (a_1,b_1)\land_C(a_2,b_2)&=&(a_1\land_A a_2,b_1\land_B b_2). \end{eqnarray*}$$

Muestre que $C$ es un retículo. ¿Cuáles son sus elementos máximo y mínimo?

12. Muestre que el producto de dos retículos modulares es modular.

13. Muestre que en un álgebra booleana se cumple que $\forall x,y:$

$$x=y \; \Leftrightarrow \; (x\land \bar y)\lor (\bar x\land y)=0.$$

14. Sea $A$ un álgebra booleana. Demuestre la Ley de Porecki:

$$\forall x,y\in A:\quad x=0 \; \Leftrightarrow \; (x\land \bar y)\lor (\bar x\land y)=y.$$

15. Sea $A$ un álgebra booleana. Dados $a,b\in A$ el intervalo $[a,b]$ es la intersección del cono superior de $a$ con el cono inferior de $b$, en otras palabras

$$[a,b]=\{c\in A\vert a\leq c\leq b\}.$$

1. Muestre que $I_{a,b}=[a,b]$ es un álgebra booleana.
2. Determine a los elementos $0_{I_{a,b}}$ y $1_{I_{a,b}}$.
3. Dado $c\in I_{a,b}$, ¿cuál es el elemento $d\in A$ que es complemento de $c$ en $I_{a,b}$?

16. Muestre que el producto de dos álgebras booleanas es un álgebra booleana. ¿Cuál es la longitud del álgebra producto?

17. Demuestre o refute cada una de las siguientes igualdades propuestas en un álgebra booleana:

1. $\overline{x\land \overline{(y\lor z)}}=\overline{(x\land y)}\lor (x\land z)$.
2. $x=\overline{(\bar x\lor \bar y)}\lor (z\lor\overline{(x\lor y)})$.

18. Muestre que el conjunto de divisores de 1155 forma un álgebra booleana. ¿Cuál es su longitud?.

19. Decida si acaso los divisores de 4620 forman un álgebra booleana.

20. Dé condiciones necesarias y suficientes para que un número $n$ sea tal que sus divisores formen un álgebra booleana.

21. Muestre que toda álgebra booleana es un retículo modular (vea la definición más arriba).

22. Muestre que si un conjunto $B$ en un álgebra booleana $A$ tiene la propiedad de intersección finita entonces para cualquier elemento $x\in A$ uno de los dos conjuntos $B\cup\{x\}$ o $B\cup\{\overline{x}\}$ también la tiene.

23. Sea ${\cal D} = \left(D_i\right)_{i\in I}$ una cadena en un álgebra booleana $A$ (para cualesquiera dos elementos en ${\cal D}$, uno está contenido en el otro). Muestre que si cada $D_i$ tiene la propiedad de intersección finita entonces también la tiene la unión $D=\bigcup_{i\in I} D_i$.

24. Sea $X$ un conjunto no vacío. Muestre que un ultrafiltro $U$ en el álgebra booleana de sus partes, $({\cal P}(X),\cup,\cap,\overline{\cdot},\emptyset,X)$ es principal si y sólo si hay un conjunto finito en $U$. Muestre entonces que si $X$ es finito, entonces todos los ultrafiltros en ${\cal P}(X)$ han de ser principales.

25. Construya un conjunto $B$ en un álgebra booleana $A$ tal que $\mbox{\bf0}\not\in B$, el inter de cualesquiera dos elementos en $B$ no es $\mbox{\bf0}$, pero $B$ no tiene la propiedad de intersección finita.
Posterior: Programas Arriba: Estructuras algebraicas básicas Anterior: Lecturas recomendadas