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Modelo estándar de la teoría de Zermelo y Fraenkel

Para construir este modelo, supondremos la existencia de los números ordinales. Recordamos que un ORDINAL es un conjunto TRANSITIVO, es decir, un conjunto $x$ tal que

$$\forall y:\ \ y\in x\ \Rightarrow\ y\subset x,$$

que además está BIEN ORDENADO bajo la relación $\in$, es decir, para cualquier subconjunto $X$ de $x$ existe un elemento $x_0\in X$ tal que para todo $y\in X$ tal que $y\not= x$ se tiene $y\not\in x_0$ (es decir, $x_0$ es un punto $\in$-minimal de $X$). Sea pues $\mbox{\it Ord}=\{x\vert x\mbox{\rm es un ordinal}\}$ la clase de números ordinales. Se tiene que para cualquier ordinal $x\in\mbox{\it Ord}$ se cumple sólo una de las siguientes tres aseveraciones:

1. $x$ coincide con el conjunto vacío, es decir, $x$ es el primer ordinal: $x=\emptyset$.
2. $x$ es el sucesor de un ordinal: $\exists y\in\mbox{\it Ord}:\ x=y\cup\{y\}$.
3. $x$ es un ordinal límite: $x=\bigcup_{y\in x}y$.

En la tabla 3.2 enlistamos algunos de los ``primeros'' ordinales.

Table 3.2: Primeros ordinales (hasta el primer ordinal no-numerable).

$\begin{array}[t]{lcl} \mbox{\bf0} &= & \emptyset \\ \vdots &\ & \vdots \\ ... ...= & \mbox{\bf n}\cup\{\mbox{\bf n}\} \\ \vdots &\ & \vdots %%\\ \end{array}$	$\begin{array}[t]{lcl} \omega &= & \bigcup_{\mbox{\scriptsize\bf n}} \mbox{\bf ... ...\bf n})\cup\{(\omega+\mbox{\bf n})\} \\ \vdots &\ & \vdots %%\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{lcl} \omega\cdot 2 &= & \bigcup_{\mbox{\scriptsize\bf n}} \om... ...\cup\{(\omega\cdot 2+\mbox{\bf n})\} \\ \vdots &\ & \vdots %%\\ \end{array}$	$\begin{array}[t]{lcl} \omega\cdot (\mbox{\bf n}+\mbox{\bf 1}) &= & \bigcup_{\m... ...size\bf n}} \omega\cdot \mbox{\bf n} \\ \vdots &\ & \vdots %%\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{lcl} \omega^{\mbox{\scriptsize\bf n}+1} &= & \bigcup_{\mbox{\... ...n}} \omega^{\mbox{\scriptsize\bf n}} \\ \vdots &\ & \vdots %%\\ \end{array}$	$\begin{array}[t]{lcl} \omega^{\omega^2} &= & \bigcup_{\mbox{\scriptsize\bf n}}... ...a^{\omega^{\mbox{\scriptsize\bf n}}} \\ \vdots &\ & \vdots %%\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{lcl} \vdots &\ & \vdots \\ \delta_{\mbox{\scriptsize\bf n}+... ...a^{\delta_{\mbox{\scriptsize\bf n}}} \\ \vdots &\ & \vdots %%\\ \end{array}$	$\begin{array}[t]{lcl} \vdots &\ & \vdots \\ \epsilon_0 &= & \bigcup_{\mbox{\... ...n}} \delta_{\mbox{\scriptsize\bf n}} \\ \vdots &\ & \vdots %%\\ \end{array}$

Definición 2.5   La JERARQU´iA ACUMULATIVA DE CONJUNTOS es la sucesión ${\cal V}=\left(V_x\right)_{x\in\mbox{\scriptsize\it Ord}}$ definida como sigue:

$$\begin{eqnarray*} V_0 &=& \emptyset \\ V_{x+1} &=& {\cal P}(V_x) \\ V_x &=&... ...{y\in x} V_y \mbox{\rm si $x$\ es un ordinal l\'\i mite.} %%\\ \end{eqnarray*}$$

Se tiene que ${\cal V}$ es una interpretación de todos los axiomas que determinan a la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Esta interpretación se llama ESTÁNDAR de la teoría de conjuntos. De hecho, si denotamos por $\omega$ al primer ordinal límite, es decir, $\omega$ es el orden del conjunto de los números naturales, entonces $V_{\omega}$ es un conjunto de todos los axiomas de Zermelo-Fraenkel exceptuando al exioma de infinito. $V_{\omega}$ es pues un modelo donde todos los conjuntos son finitos.
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