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Modelo constructible de la teoría de Zermelo y Fraenkel

Introduzcamos primeramente una serie de operaciones ``de construcción'' entre conjuntos.

Definición 2.6   Las operaciones DE G¨ODEL son las mostradas en la tabla 3.3. Para un conjunto $M$ definimos:

$$\begin{eqnarray*} W_0(M) &=& M \\ W_{n+1}(M) &=& W_n(M) \cup \left\{{\cal F}_... ...l n\geq 0, \\ \mbox{\rm cl}\;(M) &=& \bigcup_{n\geq 0} W_n(M) \end{eqnarray*}$$

$\mbox{\rm cl}\;(M)$ es la CERRADURA (``closure'' en inglés) de $M$. El CONJUNTO DE PARTES DEFINIBLES de $M$ es

$$\mbox{\rm def}\;(M) =\mbox{\rm cl}\;(M\cup \{M\})\cap {\cal P}(M).$$

Table 3.3: Operaciones de Gödel entre conjuntos.

Definición 2.7   La JERARQU´iA CONSTRUCTIBLE DE CONJUNTOS es la sucesión ${\cal L}=\left(L_x\right)_{x\in\mbox{\scriptsize\it Ord}}$ definida como sigue:

$$\begin{eqnarray*} L_0 &=& \emptyset \\ L_{x+1} &=& \mbox{\rm def}\;(L_x) \\ ... ...{y\in x} L_y \mbox{\rm si $x$\ es un ordinal l\'\i mite.} %%\\ \end{eqnarray*}$$

Los elementos de la clase $L=\bigcup_{x\in\mbox{\scriptsize\it Ord}} L_x$ se llaman CONJUNTOS CONSTRUCTIBLES.

$L$ es un modelo de la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel en donde se cumplen el axioma de selección y la llamada HIPÓTESIS DEL CONT´iNUO: el primer cardinal estrictamente superior a la de los números naturales es la cardinalidad de los números reales. Es mediante este modelo que Kurt Gödel demostró en 1931 la consistencia del axioma de selección y la hipótesis del contínuo, con la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel. El libro [J] es una excelente introducción, ya clásica, a la Teoría de Conjuntos y ahí el lector podrá ahondar en los ejemplos presentados en esta sección.
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