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Números racionales

Sea ${\mathbb{Z}}^{2*}=\{(x,y)\vert x,y\in{\mathbb{Z}}, y\not=0\}$ el conjunto de parejas de enteros cuyas segundas componentes no son cero. Si $(x,y)\in{\mathbb{Z}}^{2*}$, a la primera componente $x$ se le llama NUMERADOR y a la segunda, $y$, DENOMINADOR. En ${\mathbb{Z}}^{2*}$ se introduce la relación de equivalencia:

$$(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2)\ \Leftrightarrow\ x_1y_2-x_2y_1=0$$ (1)

y al espacio cociente ${\mathbb{Q}}=\left({\mathbb{Z}}^{2*}/\sim\right)$ se le llama el conjunto de números RACIONALES. A cada elemento, que es en sí una clase de equivalencia, $\left[(x,y)\right]$ se le suele escribir $\frac{x}{y}$, o bien $x/y$. Evidentemente,

$$\forall \left[(x,y)\right]\in{\mathbb{Q}}\,\exists x_1,y_1\in{\mathbb{Z}}:$$

$$(x,y)\sim (x_1,y_1)\ \&\ y_1>0\ \&\ x_1,y_1 \mbox{\rm son primos relativos.}$$ (2)

(evidentemente, si $r=\mbox{\rm m.c.d.}(\vert x\vert,\vert y\vert)$ entonces hagamos $\sigma=1$ si ambos $x$, $y$ poseen el mismo signo, $\sigma=-1$ si $x$, $y$ poseen signo distinto, $x_1=\sigma \frac{\vert x\vert}{r}$ e $y_1=\frac{\vert y\vert}{r}$.) La pareja $(x_1,y_1) = x_1/y_1$ se dice ser el representante reducido del racional $\left[(x,y)\right]$. En lo que sigue, representaremos a cada racional por su representante reducido. Sea $L_{\mbox{\scriptsize\it CA}}$ el alfabeto de la teoría de campos algebraicos. Se construye una interpretación $\mathfrak{Q}=({\mathbb{Q}},\overline{\cdot})$ como sigue: Al símbolo $0$ se le asocia el racional $\overline{0}=0/1$. Al símbolo $1$ se le asocia el racional $\overline{1}=1/1$. A $+$ se le asocia la función

$$\overline{+}:\left(\left[x_1/y_1\right],\left[x_2/y_2\right]\right) \mapsto \left[\left(x_1y_2+x_2y_1\right)/y_1y_2\right].$$

A $\cdot$ se le asocia la función

$$\overline{\cdot}:\left(\left[x_1/y_1\right],\left[x_2/y_2\right]\right) \mapsto \left[x_1x_2/y_1y_2\right].$$

A $=$ se le asocia la relación de equivalencia $\sim$:

$$\left[x_1/y_1\right]=\left[x_2/y_2\right] \ \Leftrightarrow\ x_1y_2-x_2y_1=0.$$

Puede verse que en $\mathfrak{Q}$ se satisfacen todos los axiomas de campos. Incluso más: este campo es conmutativo, es decir,

$$\left[x_1/y_1\right] + \left[x_2/y_2\right] = \left[x_2/y_2\right] + \left[x_1/y_1\right]$$

y es ARQUIMEDIANO, es decir,

$$\forall \left[x/y\right]\in{\mathbb{Q}}\, \exists n\in {\mathbb{N}}: \ \left[x/y\right]\leq n\overline{1}.$$

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