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Cuaterniones

El conjunto de CUATERNIONES coincide con el espacio real de 4 dimensiones. Sea $\mbox{\it Cuat}={\mathbb{R}}^4$. Si $x=(a,b,c,d)\in\mbox{\it Cuat}$ es un cuaternión, lo escribiremos como $x=a+bi+cj+dk$, y diremos que el cuaternión $\overline{x}=a-bi-cj-dk$ es su CONJUGADO. Los números $1,i,j,k$ se dicen ser BÁSICOS La suma de cuaterniones se define ``entrada-a-entrada'':

$$\left(a_1+b_1i+c_1j+d_1k\rule{0cm}{.4cm}\right) + \left(a_2+b_2i+c_2j+d_2k\rule{0cm}{.4cm}\right) =$$

$$\left((a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k\rule{0cm}{.4cm}\right) .%%\\$$ (3)

En cuanto al producto, definimos primeramente sobre los básicos las relaciones siguientes:

$$\begin{eqnarray*} -1 &=& i^2 = j^2 = k^2 \\ i &=& jk = -kj \\ j &=& ki = -ik \\ k &=& ij = -ji \end{eqnarray*}$$

luego, extendemos por distributividad este producto a todo $\mbox{\it Cuat}$. De hecho, se ha de tener:

$$\left(a_1+b_1i+c_1j+d_1k\rule{0cm}{.4cm}\right) \cdot \left(a_2+b_2i+c_2j+d_2k\rule{0cm}{.4cm}\right) =$$

$$\left[a_2\ \ b_2\ \ c_2\ \ d_2\right] \left[\begin{array}{rrrr} a... ...\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 \\ i \\ j \\ k\end{array}\right] .%%\\$$ (4)

donde la expresión en el segundo miembro de esta igualdad se evalúa según las reglas del cálculo matricial. Se tiene, naturalmente, que el inverso aditivo de cualquier cuaternión $x=a+bi+cj+dk$ es $-x=-a-bi-cj-dk$. Ahora, si $x\not=0$ entonces al multiplicarlo por su conjugado, se obtiene:

$$x\cdot\overline{x} = a^2+b^2+c^2+d^2 = \Vert x\Vert^2$$

así pues $x\cdot\frac{\overline{x}}{\Vert x\Vert^2}=1$. En consecuencia, el inverso multiplicativo de $x$ es, precisamente, $x^{-1}=\frac{\overline{x}}{\Vert x\Vert^2}$. $\mbox{\it Cuat}$ es entonces un campo y por ende una $L_{\mbox{\scriptsize\it CA}}$-estructura. con la interpretación construída como sigue: Al símbolo $0$ se le asocia el cuaternión $\overline{0}=(0,0,0,0)$. Al símbolo $1$ se le asocia el cuaternión $\overline{1}=(1,0,0,0)$. A $+$ se le asocia la función suma definida por la ec. (3). A $\cdot$ se le asocia la función producto definida por la ec. (4). A $=$ se le asocia la relación de igualdad de ${\mathbb{R}}^4$:

$$(a_1,b_1,c_1,d_1)=(a_2,b_2,c_2,d_2) \ \Leftrightarrow\ \left(... ...b_1=b_2\right) \& \left(c_1=c_2\right) \& \left(d_1=d_2\right).$$

$\mbox{\it Cuat}$ es un campo que no es conmutativo, aunque sí es arquimediano. $\mbox{\it Cuat}$ contiene a los campos usuales de números reales y de números complejos: El campo de los números reales se identifica con el subconjunto ${\mathbb{R}}'=\{(a,0,0,0)\vert a\in{\mathbb{R}}\}$ y el campo de los números complejosa con el subconjunto ${\mathbb{C}}'=\{(a,b,0,0)\vert a,b\in{\mathbb{R}}\}$.
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